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法學離散時間傅立葉變換的線性、週期性和對稱性
離散時間傅立葉變換
離散時間序列的傅立葉變換稱為離散時間傅立葉變換 (DTFT)。數學上，離散時間序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$的離散時間傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
離散時間傅立葉變換的線性性質
敘述 – 離散時間傅立葉變換的線性性質指出，兩個離散時間序列的加權和的DTFT等於各個離散時間傅立葉變換的加權和。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right ) \right ]\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\: \: \mathrm{和}\: \: F\left [ x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }a\, X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }b\, X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$
證明
根據離散時間傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\, x_{\mathrm{2}}\left (n \right ) \right ]e^{-j\, \omega n} }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}\mathrm{\, +\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty } b\, x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}} $$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [a\, x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\mathrm{\, +\, }b\,x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }a\, X_{\mathrm{1}}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }b\, X_{\mathrm{2}}\left ( \omega \right ) }}$$
離散時間傅立葉變換的週期性
離散時間傅立葉變換的週期性指出，DTFT X(𝜔)關於𝜔是週期性的，週期為2π，即
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }X\left ( \omega \mathrm{\, +\, }\mathrm{2}n\pi \right )}}$$
因此，利用DTFT的週期性，我們只需要分析X(𝜔)的一個週期，而不需要整個範圍 −∞ < 𝜔 < ∞。
離散時間傅立葉變換的對稱性
離散時間傅立葉變換 (DTFT) X(𝜔)是𝜔的複函式，因此可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }X_{r}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }j\, X_{i}\left ( \omega \right )}}$$
其中，
$\mathrm{\mathit{X_{r}\left ( \omega \right )}}$ 是 $\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )}}$ 的實部，並且
$\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( \omega \right )}}$ 是 $\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )}}$ 的虛部。
現在，根據DTFT的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )e^{-j\, \omega n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n-j\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{r}\left ( \omega \right )\mathrm{\, +\, }j\, X_{i}\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n-j\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}}$$
比較左右兩側，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{ X_{r}\left ( \omega \right ) \mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n}}$$
並且，
$$\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( \omega \right )\mathrm{\, =\, }-\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\, \omega n}} $$
$$\mathrm{\mathit{\because \mathrm{cos}\left ( -\omega \right )n\mathrm{\, =\, }\mathrm{cos}\, \omega n\: \: \mathrm{和}\: \: \mathrm{sin}\left ( -\omega \right )n\mathrm{\, =\, }-\mathrm{sin}\, \omega n }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X_{r}\left ( -\omega \right ) \mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \left ( -\omega \right ) n\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{cos}\, \omega n}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X_{r}\left ( -\omega \right ) \mathrm{\, =\, }X_{r}\left ( \omega \right )}}$$
即，DTFT $\mathrm{\mathit{X_{r}\left ( \omega \right )}}$ 的實部是𝜔的偶函式，即它具有偶對稱性。
同樣地，
$$\mathrm{\mathit{X_{i}\left ( -\omega \right )\mathrm{\, =\, }-\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\left ( -\omega \right ) n\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\mathrm{sin}\,\omega n}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X_{i}\left ( -\omega \right )\mathrm{\, =\, }-X_{i}\left ( \omega \right )}}$$
因此，DTFT $\mathrm{\mathit{X_{i}\left (\omega \right )}}$ 的虛部是𝜔的奇函式，即它具有奇對稱性。
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