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法律研究拉普拉斯變換 – 時間反轉、共軛和共軛對稱特性
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
在數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$
拉普拉斯變換的時間反轉特性
陳述 – 拉普拉斯變換的時間反轉特性指出，如果訊號在時域中關於原點垂直軸反轉，則其拉普拉斯變換在 s 域中也關於垂直軸反轉。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right )}}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{x\left ( -t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( -s \right )}}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt }}$$
現在，透過代入$\mathrm{\mathit{t\mathrm{\, =\,}\left ( -t \right )}}$，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( -t \right )e^{-st}\:dt }}$$
在上述等式的右邊令$\mathrm{\mathit{\left ( -t \right )\mathrm{\, =\,}u}}$，則$\mathrm{\mathit{dt\mathrm{\, =\,}du}}$，
$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{su}\:du }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x\left ( -t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( u \right )e^{-\left ( -s \right )u}\:du\mathrm{\, =\,}X\left ( -s \right ) }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore x\left ( -t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( -s \right ) }}$$
因此，它證明了拉普拉斯變換的時間反轉特性。
拉普拉斯變換的共軛特性
陳述 – 拉普拉斯變換的共軛特性指出，對於複函式$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right ) }}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right ) }}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x^{\ast }\left ( t \right )e^{-st}\:dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt \right ]^{\ast } \mathrm{\, =\,}\left [ X\left ( s^{\ast } \right ) \right ]^{\ast }}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ x^{\ast }\left ( t \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$
或者它可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{ x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$
拉普拉斯變換的共軛對稱特性
陳述 – 拉普拉斯變換的共軛對稱特性指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{ x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right )}}$$
那麼，根據共軛特性，我們得到：
$\mathrm{\mathit{ x^{\ast }\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right );}}$ 對於複數$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$
並且如果$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是實函式，那麼根據共軛對稱特性，我們有：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt }}$$
在上述等式的兩邊取共軛，我們有：
$$\mathrm{\mathit{X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )t}\:dt \right ]^{\ast }\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-\left ( s^{\ast } \right )^{\ast }t}\:dt }}$$
$\mathrm{\mathit{\Rightarrow X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )\mathrm{\, =\,}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}\:dt\mathrm{\, =\,}X\left ( s \right ); }}$ 其中，$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$是實數
因此，根據拉普拉斯變換的共軛對稱特性，
$$\mathrm{\mathit{X\left ( s \right )\mathrm{\, =\,}X^{\ast }\left ( s^{\ast } \right )}}$$
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