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法律研究拉普拉斯變換的時間積分性質
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\mathit{e^{-\mathit{st}}\:\mathit{dt}}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
拉普拉斯變換的時域積分性質
陳述 - 拉普拉斯變換的時間積分性質指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
那麼
$$\mathrm{\int_{-\infty}^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\mathit{d\tau}\overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\int_{-\infty}^{\mathrm{0}}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}}{\mathit{s}}\:\mathit{d\tau}}$$
證明
考慮一個函式$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，如下所示：
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau}}$$
對兩邊關於時間求導，得到：
$$\mathrm{\frac{\mathit{d\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}}{\mathit{dt}}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
此外，
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty }^{\mathrm{0}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
對等式 (2) 進行拉普拉斯變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[ \frac{\mathit{d\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}}}{\mathit{dt}}\right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left [ \mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)} \right ]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{s}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}-\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathrm{0}^{-}\right)}}{\mathit{s}}\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
由等式 (3) 和 (4)，得到：
$$\mathrm{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\int_{-\infty}^{\mathrm{0}}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}}{\mathit{s}}\:\mathit{d\tau}}$$
$$\mathrm{\therefore\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\int_{-\infty }^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau} \right ]}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\int_{-\infty}^{\mathrm{0}}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}}{\mathit{s}}\:\mathit{d\tau}}$$
或者也可以表示為：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\mathit{t}}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}\:\mathit{d\tau} \overset{\mathit{LT}}{\leftrightarrow}\frac{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}{\mathit{s}}\:\mathrm{+}\:\int_{-\infty}^{\mathrm{0}}\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{\tau }\right)}}{\mathit{s}}\:\mathit{d\tau}}$$
因此，這證明了拉普拉斯變換的時域積分性質。
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