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法律研究拉普拉斯變換的時間微分性質
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 1 \right )}$$
公式 (1) 給出了函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號，則應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 2 \right )}$$
拉普拉斯變換的時間微分性質
陳述 – 拉普拉斯變換的時間微分性質指出，如果：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}X\left ( s \right )}}$$
那麼：
$$\mathrm{\mathit{\frac{d}{dt}x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}sX\left ( s \right )-x\left ( \mathrm{0^{-}}\right )}}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=}\int_{\mathrm{0^{-}} }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [\frac{d}{dt} x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=}\int_{\mathrm{0^{-}} }^{\infty}\mathit{\left [ \frac{dx\left ( \mathrm{t} \right )}{dt} \right ]e^{-st}\; dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because \int_{a}^{b} u\: dv\mathrm{=}\left [ u\cdot v \right ]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} v\cdot\: du}}$$
在本例中：
$$\mathrm{\mathit{u\mathrm{=}e^{-st}\: \mathrm{and}\: dv\mathrm{=}\left [ \frac{dx\left ( t \right )}{dt} \right ]dt}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow du\mathrm{=}-se^{-st}\: \mathrm{and}\: v\mathrm{=}x\left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ \frac{d}{dt}x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\int_{\mathrm{0}^{-}}^{\infty }e^{-st}\: dx\left ( t \right )\mathrm{=}\left [ e^{-st}x\left ( t \right ) \right ]_{\mathrm{0^{-}}}^{\infty }-\int_{\mathrm{0}^{-}}^{\infty }x\left ( t \right )\left ( -se^{-st} \right )dt }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow L\left [ \frac{d}{dt}x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\left [ \mathrm{0}-x\left ( \mathrm{0^{-}} \right ) \right ]\mathrm{+ }s\int_{\mathrm{0^{-}}}^{\infty }x\left ( t \right )e^{-st}dt}} $$
$$\mathrm{\mathit{\therefore L\left [ \frac{d}{dt}x\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}sX\left ( s \right )-x\left ( \mathrm{0^{-}} \right ) }}$$
或者也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{\frac{d}{dt}x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}sX\left ( s \right )-x\left ( \mathrm{0^{-}} \right )}} $$
注意
二階導數的拉普拉斯變換得到如下結果：
$$\mathrm{\mathit{\frac{d^{\mathrm{2}} x\left ( t \right )}{dt^{\mathrm{2}}}\overset{LT}{\leftrightarrow}s^{\mathrm{2}}X\left ( s \right )-sx\left ( \mathrm{0^{-}} \right )-\frac{dx\left ( \mathrm{0^{-}} \right )}{dt}}}$$
其中，$\mathrm{\mathit{\frac{dx\left ( \mathrm{0^{-}} \right )}{dt}}}$ 是在 $\mathrm{\mathit{t\mathrm{=}\mathrm{0}}}$ 時對 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 求導的結果。
對於 nth 階導數，拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{\frac{d^{n} x\left ( t \right )}{dt^{n}}\overset{LT}{\leftrightarrow}s^{n}X\left ( s \right )-s^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}x\left ( \mathrm{0^{-}} \right )-\cdot \cdot \cdot \cdot-\frac{d^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}x\left ( \mathrm{0^{-}} \right )}{dt^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}}}}$$
數值示例
使用拉普拉斯變換的時域微分性質，求以下給定函式的拉普拉斯變換：
$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$
$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{d}{dt}\delta \left ( t \right )}}$
解 (1)
給定函式為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\delta \left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because \delta \left ( t \right )\mathrm{=}\frac{d}{dt}u \left ( t \right )\: \mathrm{and}\: L\left [ u\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{s}}}$$
因此，使用拉普拉斯變換的時間微分性質 $\mathrm{\mathit{\left [ \mathrm{i.e.,}\mathit{\frac{d}{dt}x\left ( t \right )\overset{LT}{\leftrightarrow}sX\left ( s \right )-x\left ( \mathrm{0^{-}} \right )} \right ]}}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{L \left [ \delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ \frac{d}{dt}u \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}sL\left [ u\left ( t \right ) \right ]-\mathrm{0}\mathrm{=}s\times \frac{\mathrm{1}}{s}\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
解 (2)
給定函式為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\mathrm{=}\frac{d}{dt}\delta \left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\because L\left [ \delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
使用拉普拉斯變換的時間微分性質，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ \frac{d}{dt}\delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}sL\left [ \delta \left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}s\times \mathrm{1}\mathrm{=}\mathrm{1}}}$$
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