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法律研究拉普拉斯變換——s域微分
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt} \:\:...(1)$$
公式(1)給出了函式$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號，則應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt} \:\: ...(2)$$
拉普拉斯變換的頻域微分性質
說明：拉普拉斯變換的頻域或s域微分性質指出，在時域中用$\mathit{'t'}$乘以函式會導致在s域中進行微分。因此，如果
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\overset{LT}\longleftrightarrow\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
那麼，
$$\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}\overset{LT}\leftrightarrow-\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
證明
根據拉普拉斯變換的定義，我們得到：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}$$
對等式兩邊關於s求導，我們得到：
$$\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathit{=}\:\frac{\mathit{d}}{\mathit{ds}}[\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e}^{\mathit{-st}}}\mathit{dt}]$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{\frac{d}{ds}}\mathrm{(\mathit{e^{-st})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{(\mathit{-te^{-st})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathrm{[\mathit{-tx\mathrm{(t)}}]}\mathit{e^{-st}}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{[\mathit{-tx\mathrm{(t)}}]}$$ $$\therefore\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
或者也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}}\overset{\mathit{LT}}{\longleftrightarrow}-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
類似地，在時域中乘以$\mathrm{t^{2}}$會導致在頻域中進行二階導數，即：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathrm{(\mathit{-t})^\mathrm{2}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{\frac{d^{\mathrm{2}}}{ds^{\mathrm{2}}}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
同樣，對於$\mathit{t^{n}}$，我們得到：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathrm{(\mathit{-t})^\mathit{n}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\mathrm{=}\mathit{\frac{d^{\mathit{n}}}{ds^{\mathit{n}}}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
因此，這證明了拉普拉斯變換在s域中的頻域微分性質。
數值例子
利用拉普拉斯變換的頻域微分性質，求函式$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ = $\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}$的拉普拉斯變換。
解答
給定的訊號是：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}$$
單位階躍函式的拉普拉斯變換是：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{u}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:{\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s}}}$$
現在，利用s域微分性質[即$\:\:\mathrm{\mathit{tx}\mathrm{(\mathit{t})}}\overset{\mathit{LT}}{\longleftrightarrow}-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}]$的拉普拉斯變換，我們得到：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(t)}]}\mathrm{=}\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:-\mathit{\frac{d}{ds}}\mathrm{(\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s}})}$$ $$\Rightarrow\mathit{L}\mathrm{[\mathit{tu}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\frac{\mathrm{1}}{\mathit{s^{\mathrm{2}}}}}$$
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