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法學拉普拉斯變換的終值定理
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或s域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是時域函式，則其拉普拉斯變換定義為：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(1)$$
公式 (1) 給出了函式 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的雙邊拉普拉斯變換。但對於因果訊號，則應用單邊拉普拉斯變換，其定義為：
$$\mathit{L}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})\mathit{e^{-st}}}\mathit{dt}\:\:\:..(2)$$
終值定理
拉普拉斯變換的終值定理使我們能夠直接從其拉普拉斯變換 X(s) 中找到函式 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的最終值 [即，$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}$]，而無需求 X(s) 的逆拉普拉斯變換。
定理
拉普拉斯變換的**終值定理**指出，如果
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}$$
那麼，
$$\lim_{t \rightarrow \infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$
證明
根據單邊拉普拉斯變換的定義，我們有：
$$\mathit{L}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}$$
對等式兩邊關於時間求導，我們得到：
$$\mathit{L}[\frac{\mathit{dx\mathrm{(t)}}}{\mathit{dt}}]\:\mathrm{=}\:\int_{0}^{\infty}\frac{\mathit{dx\mathrm{(t)}}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}\:\mathit{dt}$$
現在，根據拉普拉斯變換的時間微分性質 $[i.e..,\:\mathrm{\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}}\:\overset{LT}\longleftrightarrow\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}\:-\:\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}]$，我們有：
$$\mathit{L}\mathrm{[\frac{\mathit{dx\mathrm{(\mathit{t})}}}{\mathit{dt}}]}\:\mathrm{=}\:\:\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^{-})}$$
在上述表示式的兩邊取 $\lim_{s \rightarrow 0}$，我們得到：
$$\lim_{s \rightarrow 0}[\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}\mathit{e^{-st}}}\:\mathit{dt}]\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow \infty}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}}^{\infty}\mathit{\frac{\mathit{dx}\mathrm{(\mathit{t})}}{\mathit{dt}}}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]_0^\infty\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(s)}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}[\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})-\mathit{x}\mathrm{(0^-)}}]$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$
因此，我們有：
$$\lim_{t \rightarrow \infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(\mathit{s})}$$
注意 − 為了應用拉普拉斯變換的終值定理，必須消除 sX(s) 分子和分母中任何公共因子。如果在消除公共因子後，sX(s) 的任何極點位於 s 平面的右半部分，則終值定理不成立。
數值例子
首先確定 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$，然後驗證函式 $\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\;\mathrm{1}/\mathrm{(\mathit{s}+3)}$ 的終值定理。
解答
給定函式為：
$$\mathit{X}\mathrm{(\mathit{s})}\:\mathrm{=}\;\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}$$
取逆拉普拉斯變換，我們有：
$$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{L^{-\mathrm{1}}}[\mathit{X}\mathrm{(s)}]\:\mathrm{=}\:\mathit{L}^\mathrm{-1}[\frac{1}{\mathrm{(\mathit{s}+\mathrm{3})}}]$$ $$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{\mathrm{-3}\mathit{t}}$$
因此，給定函式的最終值為：
$$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:[\mathit{x}\mathrm{(t)}]_{\mathit{t}={\infty}}\:\mathrm{=}[\mathit{e}^{-3t}]_{t=\infty}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e}^{-\infty}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$
現在，使用終值定理，我們得到：
$$\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{sX}\mathrm{(s)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow 0}\mathit{s}\begin{bmatrix} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(\mathit{s}+{\mathrm{3}})}} \end{bmatrix}$$ $$\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{(\infty)}\:\mathrm{=}\:\lim_{s \rightarrow0}\begin{bmatrix}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{(1+\frac{3}{\mathit{s}})}} \end{bmatrix}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$
因此，給定函式的終值定理得證。
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