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法律Z 變換的初始值定理
Z 變換
Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。在數學上，如果 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
Z 變換的初始值定理
初始值定理使我們能夠直接從訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 變換 X(z) 計算訊號的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，而無需求 X(z) 的反 Z 變換。
**陳述** - Z 變換的初始值定理指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\overset{\mathit{ZT}}{\leftrightarrow}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
其中，$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個因果序列。那麼，
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
證明
根據因果序列的 Z 變換定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=\mathrm{0}}}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z^{-\mathit{n}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}\mathit{z^{-\mathrm{1}}}\:\mathrm{+}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}\mathit{z^{-\mathrm{2}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{3}}}}\:\mathrm{+}\:...}$$
現在，在兩邊取極限 $\mathit{z}\to \infty$，得到：
$$\mathrm{\displaystyle \lim_{z \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{z \to \infty}\mathrm{\left[\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{1}\right)}}{\mathit{z}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{2}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{2}}}}\:\mathrm{+}\:\frac{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{3}\right)}}{\mathit{z^{\mathrm{3}}}}\:\mathrm{+}\:... \right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \displaystyle \lim_{z \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{+}\:\mathrm{0}\:\mathrm{+}\:...\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}}$$
因此，它直接從函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的 Z 變換中得到函式的初始值。
數值示例 (1)
使用 Z 變換的初始值定理，求訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值，即 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$，如果 X(z) 由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\:\mathit{z}\:\mathrm{+}\:1}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
解決方案
訊號給定的 Z 變換為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\mathrm{+}\:\mathit{z}\:\mathrm{+}\:1}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z}}\right)}+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z^{2}}}\right )}}{\mathrm{\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}}$$
現在，使用 Z 變換的初始值定理 $\mathrm{\left[ i.e,\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{n} \to 0}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty }\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)} \right]}$，得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathrm{\left[ \frac{1+\mathrm{\left( \frac{1}{\mathit{z}}\right)}+\mathrm{\left ( \frac{1}{\mathit{z}^{2}}\right )}}{\mathrm{\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left ( 1+\frac{1}{\mathit{z}} \right )}}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{1\:\mathrm{+}\:0\:\mathrm{+}\:0}{\mathrm{\left(1+0 \right)}\mathrm{\left( 1+0\right)}}\:\mathrm{=}\:1}$$
因此，給定函式的初始值為 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$ = 1。
數值示例 (2)
如果 X(z) 由下式給出，求序列 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 的初始值 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}$：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
解決方案
序列給定的 Z 變換為：
$$\mathrm{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{z}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}}{\mathrm{\left( \mathit{z}+2\right)}\mathrm{\left( \mathit{z}+1\right)}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{z\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z^{\mathrm{2}}}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}}$$
使用 Z 變換的初始值定理，得到：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\mathit{z} \to \infty}\mathrm{\left[ \frac{\mathrm{\left( 1+\frac{4}{\mathit{z}}\right )}}{\mathrm{\mathit{z}\left( 1+\frac{2}{\mathit{z}}\right)}\mathrm{\left( 1+\frac{1}{\mathit{z}}\right )}}\right ]}\:\mathrm{=}\:0}$$
因此，給定序列的初始值等於 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathrm{0}\right)}\:\mathrm{=}\:0 $
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