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法學Z變換的時移特性
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是離散時間函式，則其Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]=X\left ( z \right )=\sum_{n=-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
Z變換的時移特性
說明 – Z變換的時移特性指出，如果序列$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$在時域中移動n0，則它在z域中導致乘以$\mathrm{\mathit{z^{-n_{\mathrm{0}}}}}$。因此，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\: \: \mathrm{ROC}\mathrm{\, =\, }\mathit{R} }}$$
在零初始條件下。
那麼，根據時移特性，
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}\, X\left ( z \right )}}$$
ROC = R，除了可能增加或刪除𝑧 = 0或𝑧 = ∞
證明
根據Z變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )z^{-n}}}$$
在上述求和中用$\mathrm{\mathit{\left ( n-n_{\mathrm{0}}\right )=m }}$代替，則我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( m \right )z^{-\left ( m\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}\sum_{m\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( m \right )z^{-m}\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$
同樣，它可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$
類似地，如果訊號在時間上提前，則根據時移特性，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )}}$$
此外，*如果忽略初始條件*，則
時間延遲的時移特性為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )\mathrm{\, +\, }z^{-n_{\mathrm{0}}}\sum_{p\mathrm{\, =\, }\mathrm{1}}^{n_{\mathrm{0}}}x\left ( -p \right )z^{p}}}$$
時間提前的時移特性為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right )-z^{n_{\mathrm{0}}}\sum_{p\mathrm{\, =\, }\mathrm{0}}^{n_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}}x\left ( p \right )z^{-p}}}$$
數值示例（1）
使用Z變換的時移特性，求序列的Z變換：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( n-\mathrm{3} \right ) }}$$
解答
給定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }u\left ( n-\mathrm{3} \right ) }}$$
由於單位階躍序列的變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{z}{z-\mathrm{1}};\: \: \mathrm{ROC}\to \left|z \right|>\mathrm{1}}}$$
因此，使用Z變換的時移特性$\mathrm{\mathit{\left [ \mathrm{i.e.,}\: x\left ( n-n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{-n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) \right ]}}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ u\left ( n-\mathrm{3} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-\mathrm{3}}Z\left [ u\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{-\mathrm{3}}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ u\left ( n-\mathrm{3} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{z^{\mathrm{2}}\left ( z-\mathrm{1} \right )};\; \; \mathrm{ROC}\to \left|z \right|>\mathrm{1}}}$$
數值示例（2）
使用Z變換的時移特性，求以下序列的Z變換
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right )}}$$
解答
給定的序列是：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right )}}$$
由於衝擊序列的Z變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ \delta \left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\mathrm{1}}}$$
現在，使用Z變換的時移特性$\mathrm{\mathit{\left [ \mathrm{i.e.,}\: x\left ( n\mathrm{\, +\, }n_{\mathrm{0}} \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}z^{n_{\mathrm{0}}}X\left ( z \right ) \right ]}}$，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ \delta \left ( n\mathrm{\, +\, }\mathrm{5} \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }z^{\mathrm{5}}\left ( \mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\, }z^{\mathrm{5}}}}$$
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