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法學傅立葉變換的時標變換性質
對於連續時間函式𝑥(𝑡)，𝑥(𝑡)的傅立葉變換可以定義為
$$\mathrm{X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
傅立葉變換的時標變換性質
說明 – 傅立葉變換的時標變換性質指出，如果一個訊號在時間上擴充套件了量(a)，那麼它的傅立葉變換在頻率上就會壓縮相同的量。因此，如果
$$\mathrm{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow} X\left ( \omega \right )}$$
那麼，根據傅立葉變換的時標變換性質
$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |} X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
當𝑎 > 1時，𝑥(𝑎𝑡)是𝑥(𝑡)的壓縮版本，並且
當𝑎 < 1時，函式𝑥(𝑎𝑡)是𝑥(𝑡)的擴充套件版本。
證明 – 根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( t \right ) \right ]=X\left ( \omega \right )=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt}$$
然後，我們有：
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( at \right )e^{-j\omega t}dt}$$
令𝑎𝑡 = 𝑢，則
$$\mathrm{t=\frac{u}{a};\; \; and\; \; dt=\frac{du}{a}}$$
$$\mathrm{\therefore F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\omega \left ( \frac{u}{a} \right )}\frac{du}{a}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du}$$
情況一 – 當𝑎 > 0時，則
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du=\frac{1}{a}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
情況二 – 當𝑎 < 0時，則
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=-\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=-\frac{1}{a}\int_{-\infty }^{\infty}x\left ( u \right )e^{-j\left ( \frac{\omega}{a} \right ) u }du=-\frac{1}{a}X\left ( -\frac{\omega }{a} \right )}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [ x\left ( at \right ) \right ]=\frac{1}{\left | a \right |}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{x\left ( at \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{\left | a \right |}X\left ( \frac{\omega }{a} \right )}$$
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