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法律研究傅立葉變換的卷積性質 – 陳述、證明和示例
傅立葉變換
連續時間函式 𝑥(𝑡) 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅立葉變換的卷積性質
陳述 – 兩個訊號在時域中的卷積等效於它們在頻域中的頻譜相乘。因此，如果
$$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$
那麼，根據傅立葉變換的時域卷積性質，
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$
證明
兩個連續時間訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的卷積定義為：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$
現在，根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$
透過交換積分順序，我們得到：
$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$
透過在第二個積分中替換 (𝑡 − 𝜏) = 𝑢，我們得到：
$$\mathrm{t = (u + \tau)\: and\: dt = du}$$
$$\mathrm{\therefore F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(u)e^{-j \omega (u+\tau)}du]d\tau}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(u)e^{-j \omega u}du]e^{-j\omega \tau}d\tau}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)X_2(\omega)e^{-j\omega\tau}d\tau.}$$
$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=[\int_{-\infty}^{\infty}x_{1}(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau]X_{2}(\omega)-X_{1}(\omega).X_{2}(\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore F[x_1(t)*x_2(t)]=X_1(\omega).X_2(\omega)}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega).X_2(\omega)}$$
數值示例
使用傅立葉變換，求給定訊號的卷積：
$$\mathrm{x_1(t)=te^{-t}u(t)\:and\:x_2(t)=te^{-2t}u(t)}$$
解答
已知
$$\mathrm{x_1(t)=te^{-t}u(t)}$$
𝑥1(𝑡) 的傅立葉變換為：
$$\mathrm{X_1(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2}}$$
以及
$$\mathrm{x_2(t)=te^{-2t}u(t)}$$
𝑥2(𝑡) 的傅立葉變換為：
$$\mathrm{X_2(\omega)=\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$
現在，根據傅立葉變換的卷積性質，我們有：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega).X_2(\omega)}$$
因此，
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=F^{-1}[X_1(\omega).X_2(\omega)]=F^{-1}[\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}]}$$
透過進行部分分式分解，我們得到：
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}}$$
$$\mathrm{=\frac{A}{(1+j\omega)}+\frac{B}{(1+j\omega)^2}+\frac{C}{(2+j\omega)}+\frac{D}{(2+j\omega)^2}}$$
求解後，我們得到 A、B、C 和 D 的值為
$$\mathrm{𝐴 = −2;\: 𝐵 = 1;\: 𝐶 = 2; \:𝐷 = 1}$$
$$\mathrm{\therefore X(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^2.(2+j\omega)^2}}$$
$$\mathrm{=\frac{-2}{(1+j\omega)}+\frac{1}{(1+j\omega)^2}+\frac{2}{(2+j\omega)}+\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$
透過進行傅立葉逆變換，我們得到訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的卷積為：
$$\mathrm{x(t)=-2e^{-t}u(t)+te^{-t}u(t)+2e^{-2t}u(t)+te^{-2t}u(t)}$$
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