資料結構
網路
關係型資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法學連續時間傅立葉級數的卷積性質
傅立葉級數
如果𝑥(𝑡)是一個週期為T的週期函式，則該函式的連續時間傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$
其中，𝐶𝑛是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$
傅立葉級數的卷積性質
根據卷積性質，兩個函式𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)在時域中的卷積的傅立葉級數等於它們在頻域中傅立葉級數係數的乘積。
如果𝑥1(𝑡)和𝑥2(𝑡)是兩個週期為T的週期函式，其傅立葉級數係數分別為𝐶𝑛和𝐷𝑛。則如果：
$$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$
$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$
則連續時間傅立葉級數的卷積性質表明：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$
證明
根據傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-jn\omega_0 t}dt}$$
由於[0到T]或[𝑡0到(𝑡0 + 𝑇)]具有相同的週期，因此：
$$\mathrm{\Rightarrow FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-jn\omega_0 t}dt\:\:\:\:.....(3)}$$
但是，從週期訊號的卷積積分定義中，我們得到：
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{0}^{T}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau\:\:\:\:.....(4)}$$
$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{0}^{T}x_1(t-\tau)x_2(\tau)d\tau\:\:\:\:.....(5)}$$
將公式(4)中[𝑥1(𝑡) ∗ 𝑥2(𝑡)]的值代入公式(3)，我們有：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}(\int_{0}^{T}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:\:\:......(6)}$$
重新排列公式(6)中的積分順序，我們得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)(\int_{0}^{T}x_2(t-\tau)e^{-jn\omega_{0} t}dt)d\tau\:\:\:\:......(7)}$$
在公式(7)的右邊將(𝑡 − 𝜏) = 𝑡0，則𝑑𝑡 = 𝑑𝑡0，我們得到：
$$\mathrm{FS[x_1(t)*x_2(t)]=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)(\int_{-\tau}^{T-\tau}x_2(t_0)e^{-jn\omega_{0} (t_0+\tau)}dt_{0})d\tau}$$
$$\mathrm{\Rightarrow FS[x_1(t)*x_2(t)]=T(\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x_1(\tau)e^{-jn\omega_{0}t}d\tau)(\frac{1}{T}\int_{-\tau}^{T-\tau}x_2(t_0)e^{-jn\omega_{0} t_0}dt_{0})\:\:\:\:.....(8)}$$
將公式(8)與公式(2)進行比較，我們得到：
$$\mathrm{ FS[x_1(t)*x_2(t)]=T[C_n][D_n]}$$
$$\mathrm{\therefore x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_n D_n\:\:\:(證畢)}$$
4K+ 次瀏覽
