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法律研究連續時間傅立葉級數的時間微分和積分性質
傅立葉級數
如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt… (2)}$$
傅立葉級數的時間微分性質
如果 $x(t)$ 是一個週期為 T 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼，連續時間傅立葉級數的時間微分性質指出：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FS}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}… (3)}$$
對等式 (3) 兩邊進行時間微分，我們有：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\frac{d(e^{jn\omega_{0} t})}{dt}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}(jn\omega_{0})}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{dx(t)}{dt}=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0} t}… (4)}$$
$$\mathrm{∵\: \sum_{n=−\infty}^{\infty}(jn\omega_{0}C_{n})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[jn\omega_{0}C_{n}]… (5)}$$
從等式 (4) 和 (5) 中，我們得到：
$$\mathrm{\frac{dx(t)}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}jn\omega_{0}C_{n}\:\:(證畢)}$$
連續時間傅立葉級數的時間積分性質
如果 $x(t)$ 是一個週期為 T 且傅立葉級數係數為 $C_{n}$ 的週期函式。那麼，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
那麼，連續時間傅立葉級數的時間積分性質指出：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0}$$
證明
根據連續時間傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}… (6)}$$
對等式 (6) 兩邊進行時間積分，我們有：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}x(τ)dτ=\int_{−\infty}^{t}\left [\sum_{n=−\infty}^{\infty} C_{n}\:e^{jn\omega_{0} τ}\right ]dτ}$$
重新排列積分和求和，我們得到：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\int_{−\infty}^{t}e^{jn\omega_{0} τ}dτ}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{e^{jn\omega_{0} τ}}{jn\omega_{0}}\right ]_{−\infty}^{t}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left [ \frac{e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}}-\frac{e^{−\infty}}{jn\omega_{0} } \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left (\frac{e^{jn\omega_{0} t}}{jn\omega_{0}} \right )=\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0}} \right )e^{jn\omega_{0} t}… (7)}$$
$$\mathrm{∵\sum_{n=−\infty}^{\infty}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )e^{jn\omega_{0} t}=FS^{-1}\left ( \frac{C_{n}}{jn\omega_{0} } \right )… (8)}$$
因此，從等式 (7) 和 (8) 中，我們得到：
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{t}x(τ)dτ\overset{FS}{\leftrightarrow}\frac{C_{n}}{jn\omega_{0}};\:\:C_{0}=0\:\:(證畢)}$$
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