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法學傅立葉變換的時間微分性質
傅立葉變換
連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
而傅立葉逆變換定義為：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d \omega}$$
傅立葉變換的時間微分性質
結論——傅立葉變換的時間微分性質指出，時域中函式的微分等價於頻域中其傅立葉變換乘以因子$j\omega$。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據時間微分性質，
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
證明
根據傅立葉逆變換的定義，我們有：
$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega}$$
對等式兩邊求時間導數，得到：
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left [ \frac{1}{2\pi} \int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t} d\omega\right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omega t}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omega e^{j\omega t}d\omega}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=j\omega \left [\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega \right ]=j\omega\cdot F^{-1}[X(\omega)]}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [ \frac{d}{dt}x(t) \right ]=j\omega\cdot X(\omega)}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdot X(\omega)}$$
一般來說，n階微分的時間微分性質由下式給出：
$$\mathrm{\frac{d^{n}}{(dt)^{n}}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}(j\omega)^{n}\cdot X(\omega)}$$
數值例子
利用傅立葉變換的時間微分性質，求$\left [ X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}} \right]$的傅立葉逆變換。
解答
已知
$$\mathrm{X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}}$$
單邊指數函式的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{F[t\:e^{-at}u(t)]=\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}}$$
因此，對於給定函式(a=1)，我們有：
$$\mathrm{F[t\:e^{-t}u(t)]=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
設
$$\mathrm{x_{1}(t)=t\:e^{-t}u(t)}$$
那麼
$$\mathrm{x_{1}(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$
現在，利用傅立葉變換的時間微分性質 $[i.e., \frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega \cdot X(\omega)] $，我們得到：
$$\mathrm{F\left [\frac{d}{dt}x_{1}(t)\right ]= j\omega \cdot X_{1}(\omega)}$$
因此，給定函式的傅立葉逆變換為：
$$\mathrm{F^{-1}[j\omega \cdot X_{1}(\omega)]=\frac{d}{dt}x_{1}(t)=\frac{d}{dt}[t\:e^{-t}u(t)]}$$
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