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法律研究連續時間傅立葉級數的線性性和共軛性質
傅立葉級數
如果 $x(t)$ 是一個週期為 $T$ 的週期函式，則該函式的連續時間指數傅立葉級數定義為：
$$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$
其中，$C_{n}$ 是指數傅立葉級數係數，由下式給出：
$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$
連續時間傅立葉級數的線性性質
考慮兩個週期訊號 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$，它們都是週期為 T 的週期訊號，其傅立葉級數係數分別為 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果
$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$
則連續時間傅立葉級數的線性性質指出：
$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$
證明
根據週期函式傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$
比較公式 (2) 和 (3)，我們有：
$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=AC_{n}+BD_{n}}$$
$$\mathrm{\therefore\:Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}\:\:(證畢)}$$
連續時間傅立葉級數的共軛性質
設週期函式 $x(t)$ 的週期為 $T$，其傅立葉級數係數為 $C_{n}$。如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
則連續時間傅立葉級數的共軛性質指出：
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[對於複數 x(t)]}$$
證明
根據傅立葉級數的定義，我們得到：
$$\mathrm{FS[x^{*}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x^{*}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left (\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{jn\omega_{0}t}\:dt\right )^{*}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left (\frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-j(-n)\omega_{0}t}\:dt\right )^{*}=(C_{-n})^{*}}$$
因此，
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[對於複數 x(t)]}$$
連續時間傅立葉級數的共軛對稱性質
由於函式 $x(t)$ 的傅立葉級數的共軛性質指出，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$
則
$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[對於複數 x(t)]}$$
傅立葉級數的共軛對稱性質指出：
$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}\:\:\:[對於實數 x(t)]}$$
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