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法律研究訊號與系統 – 傅立葉變換的共軛和自相關特性
傅立葉變換
對於連續時間函式 x(t)，x(t) 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
傅立葉變換的共軛特性
陳述 - 傅立葉變換的共軛特性指出，時域中函式 x(t) 的共軛導致其頻域中傅立葉變換的共軛，並且 ω 被替換為 (−ω)，即如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據傅立葉變換的共軛特性，
$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
在兩邊取共軛，我們得到
$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$
$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$
現在，透過將 (ω) 替換為 (−ω)，我們得到：
$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$
$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$
傅立葉變換的自相關特性
連續時間函式 𝑥(𝑡) 的自相關定義為：
$$\mathrm{R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt}$$
陳述 - 傅立葉變換的自相關特性指出，時域中單個訊號的自相關的傅立葉變換等於其頻譜模值的平方。因此，如果
$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$
那麼，根據傅立葉變換的自相關特性，
$$\mathrm{R(\tau)\overset{FT}{\leftrightarrow}|X(\omega)|^2}$$
證明
根據自相關的定義，我們有：
$$\mathrm{R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt}$$
然後，根據傅立葉變換的定義，我們得到：
$$\mathrm{X(\omega)=F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)x^*(t-\tau)dt]e^{-j\omega t}dt}$$
透過交換積分順序，我們得到：
$$\mathrm{F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)[\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t-\tau)e^{-j\omega t}d\tau]dt}$$
在第二個積分中代入 [(𝑡 − 𝜏) = 𝑢]，
$$\mathrm{\tau=(t-u)\:and\:d\tau=du}$$
$$\mathrm{\therefore F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)[\int_{-\infty}^{\infty}x^*(u)e^{-j\omega(t-u)}du]dt}$$
$$\mathrm{ \Rightarrow F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\int_{-\infty}^{\infty}x^*(u)e^{j\omega u}du}$$
$$\mathrm{ \Rightarrow F[R(\tau)]=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt[\int_{-\infty}^{\infty}x(u)e^{-j\omega u}du]^*}$$
因此
$$\mathrm{F[R(\tau)]=X(\omega)X^*(\omega)=|X(\omega)|^2}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{R(\tau)\overset{FT}{\leftrightarrow}|X(\omega)|^2}$$
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