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法律研究訊號與系統 – 能量譜密度 (ESD) 和自相關函式
能量譜密度
訊號在頻域中的能量分佈稱為**能量譜密度 (ESD)** 或**能量密度 (ED)** 或**能量密度譜**。它用 ψ(ω) 表示，由下式給出：
$$\mathrm{\psi (\omega )=\left | X(\omega ) \right |^{2}}$$
自相關
自相關函式給出了訊號與其延時版本之間相似性的度量。能量訊號 x(t) 的自相關函式由下式給出：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty}x(t)\:x^{*}(t-\tau )\:dt}$$
其中，引數 τ 稱為*延遲引數*。
ESD 和自相關函式之間的關係
自相關函式 R(τ) 和能量譜密度 (ESD) 函式 ψ(ω) 構成傅立葉變換對，即：
$$\mathrm{R(\tau )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi (\omega )}$$
證明
函式 x(t) 的自相關定義為：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\:x^{*}(t-\tau )dt}$$
用其逆變換替換 x*(t-τ)，得到：
$$\mathrm{R(\tau )=\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\left [\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X(\omega )\:e^{j\omega(t-\tau )}d\omega \right ]^{*}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }x(t)\left [\int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega )\:e^{-j\omega(t-\tau )}d\omega \right ]\:dt}$$
交換積分順序，得到：
$$\mathrm{R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega) \left [\int_{-\infty }^{\infty }x(t)\:e^{-j\omega\tau }dt \right ]e^{j\omega \tau }\:d\omega }$$
$$\mathrm{\Rightarrow R(\tau )=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty }^{\infty }X^{*}(\omega)\:X(\omega )e^{j\omega \tau }d\omega }$$
$$\mathrm{\because X^{*}(\omega) X(\omega )=\left | X(\omega )\right |^{2}=\psi (\omega)}$$
$$\mathrm{\therefore R(\tau ) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\left | X(\omega ) \right |^{2}\:e^{j\omega \tau }d\omega =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\psi (\omega) e^{j\omega \tau }d\omega=F^{-1}\left [ \psi (\omega) \right ]}$$
因此，
$$\mathrm{F\left [R(\tau ) \right ]=\psi (\omega )}$$
或者可以寫成
$$\mathrm{R(\tau )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi (\omega )}$$
這證明了自相關函式 R(τ) 和 ESD 函式 ψ(ω) 構成傅立葉變換對。
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