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法學什麼是能量譜密度？
能量譜密度
訊號在頻域中的能量分佈稱為能量譜密度 (ESD) 或能量密度 (ED) 或能量密度譜。ESD函式用$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )}}$表示，其表示式為：
$$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}}}$$
對於能量訊號，能量譜密度曲線與頻率函式的曲線下的總面積等於訊號的總能量。
解釋
考慮一個線性系統，其輸入和輸出分別為$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathrm{\mathit{y\left ( \mathit{t} \right )}}$。則$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$和$\mathrm{\mathit{y\left ( \mathit{t} \right )}}$的傅立葉變換為
$$\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}X\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{y\left ( t \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}Y\left ( \omega \right )}}$$
系統的傳遞函式為𝐻(𝜔)。則我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Y\left ( \omega \right )\mathrm{=}H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
因此，輸入和輸出訊號的ESD由下式給出：
輸入函式的ESD，$\mathrm{\mathit{\psi_{x} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right )}}$
輸出函式的ESD，$\mathrm{\mathit{\psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|Y\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right )}}$
由公式(1)、(2)和(3)，我們有：
$$\mathrm{\mathit{\psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|Y\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}}\cdot \left|X\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\mathrm{=}\left| H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}}\cdot \psi _{x}\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore \psi_{y} \left ( \omega \right )\mathrm{=}\left| H\left ( \omega \right )\right|^{\mathrm{2}} \psi _{x}\left ( \omega \right )\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{4} \right )}}$$
因此，從公式(4)可以清楚地看出，線性系統的輸出函式的ESD是系統傳遞函式幅度平方的乘積和輸入訊號的ESD。
現在，輸出訊號的能量為：
$$\mathrm{\mathit{E_{y}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{y}\left ( f \right )df\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{5} \right ) }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\psi _{y}\left ( \omega \right )d\omega\; \; \; \left ( \because f\mathrm{=} \frac{\omega }{\mathrm{2}\pi } \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\pi }\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega }}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{\mathrm{0} }^{\infty }\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )d\omega }}$$
如果給定的線性系統是具有下限截止頻率f1和上限截止頻率f2的理想低通濾波器。則系統傳遞函式的幅度為
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( \omega \right ) \right|\mathrm{=}\mathrm{1};\; \; \; \mathrm{for \; }f_{\mathrm{1}}< f< f_{\mathrm{2}}}}$$
因此，輸出訊號的能量為：
$$\mathrm{\mathit{E_{y}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left (\omega \right )d\omega \mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\pi }\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left ( \mathrm{2} \pi f\right )d\left ( \mathrm{2}\pi f \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{E_{y}\mathrm{=}\mathrm{2}\int_{f_{\mathrm{1}}}^{f_{\mathrm{2}}}\psi _{x}\left (f \right )df\; \; \;\cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{6} \right ) }}$$
公式(6)給出了線性系統輸出訊號的能量，用輸入訊號的ESD表示。
能量譜密度的性質
能量譜密度 (ESD) 的性質如下：
性質1 – 如果$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$是具有衝激響應h(t)的線性時不變系統的輸入訊號，則輸入和輸出訊號的能量譜密度 (ESD) 的關係為：
$$\mathrm{\mathit{\psi _{y}\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left|H\left ( \omega \right ) \right|^{\mathrm{2}}\psi _{x}\left ( \omega \right )}}$$
性質2 – 能量譜密度曲線下的總面積等於訊號的總能量，即：
$$\mathrm{\mathit{E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\psi \left ( f \right )df\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\psi \left ( \omega \right )d\omega }}$$
性質3 – 能量譜密度 (ESD) 函式$\mathrm{\mathit{\psi \left ( \omega \right )}}$和能量訊號的自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$構成傅立葉變換對，即：
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\overset{FT}{\leftrightarrow}\psi \left ( \omega \right )}}$$
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