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法律研究什麼是功率譜密度？
功率譜密度
訊號 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 在頻域中的平均功率分佈稱為功率譜密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度譜。PSD 函式用 $\mathit{S\mathrm{\left({\mathit{\omega }}\right)}}$ 表示，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\mathrm{=}\displaystyle\lim_{\tau \to \infty }\frac{\left| \mathit{X\mathrm{\left ( \mathit{\omega}\right)}}\right|^{2}}{\tau}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
解釋
為了推匯出功率譜密度 (PSD) 函式，將功率訊號視為能量訊號的極限情況，即訊號 $\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}$ 在區間 $\left|\tau /2 \right|$ 外為零，如圖所示。
訊號 $\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}$ 由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}\mathrm{=}\begin{cases} x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\left|t \right|<\left ( \frac{\tau }{2} \right )\ 0 \:\:\: {\mathrm{otherwise} } \end{cases}}$$
其中，$x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是相同幅度的功率訊號，延伸到無窮大。
由於訊號 $\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}$ 是持續時間為 $\tau$ 的有限持續時間訊號，因此它是一個具有能量 E 的能量訊號，由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{E}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{Z\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}\right|^{2}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty }^{\infty}\left| \mathit{Z}\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}\:\mathit{d\omega }}$$
其中，
$$\mathrm{\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{t }}\right)}}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{Z\mathrm{\left({\mathit{\omega}}\right)}}}$$
另外，
$$\mathrm{\int_{-\infty}^{\infty}\left|\mathit{Z\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}}\right|^{2}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\int_{-\mathrm{\left(\tau/2\right)}}^{\mathrm{\left(\tau /2 \right)}}\left| \mathit{x}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right)}\right|^{2}\:\mathit{dt}}$$
因此，我們有：
$$\mathrm{\frac{1}{\mathit{\tau}}\int_{-\mathrm{\left(\tau/2\right)}}^{\mathrm{\left(\tau /2 \right )}}\left| \mathit{x}\mathrm{\left ( \mathit{t} \right )}\right|^{2}\:\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\mathrm{\left(\frac{1}{\tau}\right)}\int_{-\infty }^{\infty}\left| \mathit{Z}\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}\:\mathit{d\omega}}$$
因此，當 $\tau\to \infty $ 時，上述等式的左側給出訊號 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的平均功率 (P)，即：
$$\mathrm{\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\displaystyle \lim_{\tau \to\infty}\left(\frac{\left| \mathit{Z}\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}}{\tau}\right)\:\mathit{d\omega}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
如果 $\tau\to \infty $，則等式 (2) 中的 $\left(\frac{\left| Z\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}}{\tau}\right)$ 接近一個有限值。假設此有限值由 $\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$ 表示，即：
$$\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\tau \to\infty}\left(\frac{\left| \mathit{Z}\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}}{\tau}\right) \:\:\:\:\:\:...(3)}$$
等式 (3) 中的表示式稱為訊號 $z\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的功率譜密度 (PSD)。因此，對於函式 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，PSD 函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\displaystyle \lim_{\tau \to\infty}\left(\frac{\left| \mathit{X}\mathrm{\left ( \mathit{\omega } \right )}\right|^{2}}{\tau}\right)\:\:\:\:\:\:...(4)}$$
因此，訊號 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的平均功率 (P) 由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{P}\mathrm{=}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathit{d\omega }\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{f}\right)}\:\mathit{df}\:\:\:\:\:\:...(5)}$$
此外，週期函式的功率譜密度 (PSD) 由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:2\pi\:\sum_{\mathit{n}=-\infty }^{\infty}\left|\mathit{c_{n}}\right|^{2}\delta \mathrm{\left(\mathit{\omega -n\omega _{\mathrm{0}}} \right )}}\:\:\:\:\:\:...(6)$$
功率譜密度 (PSD) 的特性
特性 1 - 對於功率訊號，功率譜密度曲線下的面積等於該訊號的平均功率，即：
$$\mathrm{\mathit{P}\:\mathrm{=}\:\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathit{d\omega }}$$
特性 2 - 如果訊號 $x\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 是輸入到具有脈衝響應 $h\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的 LTI 系統，則系統的輸入和輸出 PSD 函式的關係為：
$$\mathrm{\mathit{S}_{y}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}\:\mathrm{=}\:\left|\mathit{H}\left(\mathit{\omega}\right)\right|^{2}\:\mathit{S}_{\mathit{x}}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}}$$
其中，$\left|\mathit{H}\left(\mathit{\omega}\right)\right|$ 是系統傳遞函式的幅度。
特性 3 - 自相關函式 $R\mathrm{\left(\mathrm{\tau}\right)}$ 和功率訊號的功率譜密度函式 $\mathit{S}\mathrm{\left(\mathit{\omega}\right)}$ 構成傅立葉變換對，即：
$$\mathrm{\mathit{R\mathrm{\left({\mathit{\tau }}\right)}}\overset{\mathit{FT}}{\leftrightarrow}\mathit{S\mathrm{\left({\mathit{\omega}}\right)}}}$$
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