資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法律研究功率譜密度 (PSD) 和自相關函式
功率譜密度
訊號在頻域中平均功率的分佈稱為**功率譜密度 (PSD) 或功率密度 (PD) 或功率密度譜**。功率譜密度用 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 表示，其公式為：
$$\mathrm{\mathit{S\left (\omega \right )\mathrm{=}\lim_{\tau \rightarrow \infty }\frac{\left | X\left (\omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}}{\tau }}}$$
自相關
自相關函式用於衡量訊號與其延遲版本之間的相似度。功率（或週期）訊號 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 在任意週期 T 下的自相關函式為：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\lim_{T\rightarrow \infty }\mathrm{\frac{1}{\mathit{T}}}\int_{-\left(T/\mathrm{2}\right)}^{T/\mathrm{2}}x\left(t\right)\:x^{*}\left(t-\tau \right)\:dt}}$$
其中，$\tau$ 稱為延遲引數。
PSD 和自相關函式之間的關係
功率訊號的功率譜密度函式 $\mathit{S\left(\omega\right )}$ 和自相關函式 $\mathit{R\left(\tau \right)}$ 構成一對傅立葉變換對，即：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)\overset{FT}{\leftrightarrow}S\left(\omega\right)}}$$
證明 - 功率訊號 $\mathit{x\left ( t \right ) }$ 的自相關函式可以用指數傅立葉級數係數表示為：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau \right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty } C_{n}\:C_{-n}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau }}\:\:\:\:\:\:...(1)}$$
其中，$\mathit{C_{n}}$ 和 $\mathit{C_{-n}}$ 是指數傅立葉級數係數。
$$\mathrm{\mathit{\because C_{n}\:C_{-n}=\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}}}$$
因此，公式 (1) 可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau\right)=\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}\:e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau }}\:\:\:\:\:\:...(2)}$$
對公式 (2) 兩邊進行傅立葉變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{F\left [ R\left ( \tau \right ) \right ]=F\left [\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau } \right ]=\int_{-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}e^{jn\omega _{\mathrm{0}}\tau } \right ]e^{-j\omega \tau }\:d\tau}}$$
交換上述表示式右邊積分和求和的順序，得到：
$$\mathrm{\mathit{F[R(\tau )] =\sum_{n=-\infty }^{\infty }\left|C_{n}\right| ^{\mathrm{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{jn\omega _{0}\tau} e^{-j\omega \tau } \:d\tau = \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left|C_{n}\right| ^{\mathrm{2}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\tau (\omega -n\omega _{0}) } \:d\tau }}$$
$$\mathrm{\mathit{\because \int_{-\infty }^{\infty}e^{-j \tau(\omega -n\omega _{0}) }\:d\tau=\mathrm{2}\pi \delta (\omega -n\omega _{0})}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore F\left [ R\left ( \tau \right ) \right ]=\mathrm{2}\pi \sum_{n=-\infty }^{\infty }\left | C_{n} \right |^{\mathrm{2}}\delta (\omega -n\omega _{\mathrm{0}})}\:\:\:\:\:\:...(3)}$$
公式 (3) 的右邊是功率函式 $\mathit{x\left(t\right)}$ 的功率譜密度 (PSD)。因此，
$$\mathrm{\mathit{F\left [ R\left(\tau \right)\right ]=S\left(\omega\right)}}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{R\left(\tau\right)\overset{FT}{\leftrightarrow}S\left(\omega\right)}}$$
因此，證明了功率訊號的自相關函式 $\mathit{R\left(\tau\right )}$ 和 PSD 函式 $\mathit{S\left (\omega \right )}$ 構成傅立葉變換對。
15K+ 次瀏覽
