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法學自相關函式及其性質
什麼是自相關？
訊號的自相關函式定義為訊號與其延時版本的相似性或一致性的度量。因此，自相關是訊號與自身的相關性。
能量訊號（非週期訊號）和功率訊號（週期訊號）的自相關函式定義有所不同。
能量訊號的自相關函式
能量訊號$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$的自相關函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{R_{\mathrm{11}}\left ( \tau \right )\mathrm{=}R\left ( \tau \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t \right )x^{\ast }\left ( t-\tau \right )dt\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x\left ( t\mathrm{+ }\tau \right )x^{\ast }\left ( t \right )dt}}$$
其中，變數$\mathrm{\mathit{\tau}}$稱為延遲引數。
能量訊號自相關函式的性質
能量訊號自相關函式的性質如下：
性質 1
能量訊號的自相關函式具有複共軛對稱性，這意味著自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$的實部是延遲引數（$\mathrm{\mathit{\tau}}$）的偶函式，而$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$的虛部是引數$\mathrm{\mathit{\tau}}$的奇函式。因此，
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R^{\ast }\left ( -\tau \right )}}$$
性質 2
當延遲引數$\mathrm{\mathit{\tau}}$向任何方向增加時，能量訊號的自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$都會減小。因此，當引數$\mathrm{\mathit{\tau}}$減小時，自相關$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$增大，並在$\mathrm{\mathit{\tau \: \mathrm{=}}}$ 0（或原點）處達到最大值。所以，
$$\mathrm{\mathit{\left| R\left ( \tau \right )\right|\leq R\left ( \mathrm{0} \right );\; \; \mathrm{for\: all\: }\tau }}$$
性質 3
能量訊號的自相關函式在原點（即$\mathrm{\mathit{\tau\:\mathrm{=}}}$ 0）的值等於該訊號的總能量E，即
$$\mathrm{\mathit{ R\left ( \tau \right )|_{\tau \mathrm{=}\mathrm{0}}\mathrm{=}E\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\left|x\left ( t \right ) \right|^{\mathrm{2}}dt}}$$
性質 4
能量訊號的自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$和能量譜密度 (ESD) 函式 𝜓(𝜔) 構成傅立葉變換對，即
$$\mathrm{\mathit{ R\left ( \tau \right )\leftrightarrow \psi \left ( \omega \right )}}$$
功率訊號的自相關函式
任何週期為T的功率訊號或週期訊號$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$的自相關函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}\displaystyle \lim_{T \to \infty }\frac{\mathrm{1}}{T}\int_{-T/\mathrm{2} }^{T/\mathrm{2}}x\left ( t \right )x^{\ast }\left ( t-\tau \right )dt}}$$
功率訊號自相關函式的性質
功率訊號自相關函式的性質如下：
性質 1
功率訊號或週期訊號的自相關函式具有複共軛對稱性，即
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R^{\ast }\left ( -\tau \right )}}$$
性質 2
功率訊號自相關函式在原點（即$\mathrm{\mathit{\tau\:\mathrm{=}}}$ 0）的值等於該訊號的平均功率 (P)，即
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{=}P}}$$
性質 3
當延遲引數$\mathrm{\mathit{\tau}}$減小時，功率訊號的自相關$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$增大，並在原點處達到最大值，即
$$\mathrm{\mathit{\left| R\left ( \tau \right )\right|\leq R\left ( \mathrm{0} \right )}}$$
性質 4
自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$與功率（或週期）訊號本身具有相同的週期性，即
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\mathrm{=}R\left ( \tau\pm nT \right );\; \; \; \; \mathrm{where,\:\mathit{n}\mathrm{=}1,\, 2,\, 3,\, \cdot \cdot \cdot } }}$$
性質 5
功率訊號的自相關函式$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )}}$和功率譜密度 (PSD) 函式$\mathrm{\mathit{S\left ( \omega \right )}}$構成傅立葉變換對，即
$$\mathrm{\mathit{R\left ( \tau \right )\leftrightarrow S\left ( \omega \right )}}$$
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