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法律學互相關函式及其性質
互相關函式
兩個不同訊號之間的互相關函式定義為一個訊號與另一個訊號的時間延遲版本的相似性或一致性的度量。
互相關函式分別針對能量（或非週期性）訊號和功率或週期性訊號定義。
能量訊號的互相關
考慮兩個能量訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$。這兩個能量訊號的互相關定義為：
$$\mathit{R_{\mathrm{12}}}\mathrm{(\tau)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}x_{\mathrm{2}}^{*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t+\tau})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}$$
其中，變數$\tau$稱為延遲引數、掃描引數或搜尋引數。
兩個能量訊號的互相關以另一種形式定義為：
$$\mathit{R_{\mathrm{12}}}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_\mathrm{2}}\mathrm{(t)}\mathit{x_\mathrm{1}^*}\mathrm{(t-\tau)}\:\mathit{dt}$$
能量訊號互相關函式的性質
能量訊號互相關函式的性質如下：
性質 1
能量訊號的互相關函式表現出共軛對稱性，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_\mathrm{21}^*}\mathrm{(-\tau)}$$
性質 2
能量訊號的互相關函式通常不是可交換的，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{
eq}\:\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(-\tau)}$$
性質 3
如果
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$
則稱兩個能量訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$在整個時間間隔內為正交訊號。正交訊號的互相關為零。
性質 4
兩個能量訊號的互相關等效於一個訊號的傅立葉變換與另一個訊號的傅立葉變換的複共軛的乘積，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\tau)}\:\leftrightarrow\:\mathit{X_\mathrm{1}}\mathrm(\omega).\mathit{X_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$
互相關的這一性質稱為相關定理。
功率訊號的互相關
考慮兩個功率（或週期性）訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$，它們具有相同的時間週期（例如T），則這兩個功率訊號的互相關定義為：
$$\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(\mathit{T}\diagup2)}}^{\mathrm{(\mathit{T}\diagup2)}}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$
兩個週期函式的互相關以另一種形式定義為：
$$\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(\tau)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(\mathit{T}/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(\mathit{T/\mathrm{2}})}}\mathit{x_\mathrm{2}}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathit{x_\mathrm{1}^*}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$
其中，變數$\tau$稱為延遲引數。
功率訊號互相關函式的性質
功率訊號互相關的性質如下：
性質 1
兩個功率訊號的互相關表現出複共軛對稱性，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_\mathrm{21}^*}\mathrm{(-\tau)}$$
性質 2
兩個功率訊號的互相關不是可交換的，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{
eq}\:\mathit{R_\mathrm{21}}\mathrm{(-\tau)}$$
性質 3
兩個功率訊號的互相關函式等效於一個訊號的傅立葉變換與另一個訊號的傅立葉變換的複共軛的乘積，即
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(\tau)}\:\leftrightarrow\:\mathit{X_\mathrm{1}}\mathrm{(\omega)}.\mathit{X_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\omega)}$$
性質 4
如果
$$\mathit{R_\mathrm{12}}\mathrm{(0)}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathrm{(T/\mathrm{2})}}^{\mathrm{(T/\mathrm{2})}}\mathit{x_\mathrm{1}}\mathrm{(t)}\:\mathit{x_\mathrm{2}^*}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}$$
則稱兩個功率訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}}\mathrm{(\mathit{t})}$在整個時間間隔內為正交訊號。
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