含噪聲週期訊號的檢測(互相關法)


含噪聲週期訊號的檢測

噪聲訊號是一種幅度變化隨機的無用訊號。噪聲訊號與任何週期訊號都不相關。

檢測被噪聲訊號掩蓋的週期訊號在訊號處理中非常重要。它主要用於雷達和聲納訊號的檢測、腦電訊號中週期成分的檢測、海浪分析中週期成分的檢測以及地球物理學的許多其他領域等。這些問題的解決方案可以透過相關技術輕鬆提供。因此,互相關函式可用於檢測被噪聲訊號掩蓋的週期訊號。

假設$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是一個週期訊號,$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$是噪聲訊號。那麼,訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相關函式由下式給出:

$$\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:{0}; (對所有\:\mathit{\tau})$$

透過互相關檢測週期訊號

互相關可用於檢測與另一個相同頻率的週期訊號混合的週期訊號。互相關檢測的缺點是需要預先知道待檢測訊號的頻率。

現在,考慮週期訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$與噪聲訊號$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$混合,則接收到的訊號由下式給出:

$$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$$

另外,考慮$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是與週期訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$頻率相同的區域性生成的訊號。因此,$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相關函式由下式給出:

$$\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}]}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{\mathit{T} \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}}\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$

由於函式$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是週期函式,並且它與噪聲訊號$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$不相關。因此,它們的互相關函式等於零,即:

$$\mathit{R_{nz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:{0}$$ $$\therefore\mathit{R_{yz}}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$

這裡,訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$是相同頻率的訊號。因此,相關函式$\mathit{R_{xz}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$也是相同頻率的週期函式。因此,如果混合訊號$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$與$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$的互相關導致週期訊號,則訊號$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$必須包含與訊號$\mathit{z}\mathrm{(\mathit{t})}$頻率相同的週期分量。透過這種方式,我們可以使用互相關檢測含噪聲的週期訊號。

更新於:2022年1月7日

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