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法學存在噪聲時的週期訊號檢測（自相關法）
存在噪聲時的週期訊號檢測
**噪聲訊號**是一種幅度變化隨機的非期望訊號。噪聲訊號與任何週期訊號都不相關。
檢測被噪聲訊號掩蓋的週期訊號在訊號處理中非常重要。它主要用於雷達和聲納訊號的檢測、腦訊號中週期成分的檢測、海浪分析中週期成分的檢測以及地球物理學的許多其他領域等。這些問題的解決方案可以透過相關技術輕鬆提供。因此，自相關函式可用於檢測被噪聲訊號掩蓋的週期訊號。
假設$\mathit{x}\mathrm{(t)}$是一個週期訊號，$\mathit{n}\mathrm{(t)}$是噪聲訊號。則訊號$\mathit{x}\mathrm{(t)}$和$\mathit{n}\mathrm{(t)}$的相關函式由下式給出：
$$\mathit{R_\mathit{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\mathit{\tau}})}\mathit{dt}\:\mathrm{=}\:\mathrm{0}; \:\:\:\: (對所有\:\mathit{\tau})$$
透過自相關檢測週期訊號
如果週期訊號$\mathit{x}\mathrm{(t)}$與噪聲訊號$\mathit{n}\mathrm{(t)}$混合。則接收到的訊號由下式給出：
$$\mathit{y}\mathrm{(t)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(t)}$$
接收到的訊號$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$也是一個週期訊號。
此外，設訊號$\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t})}$，$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$和$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$的自相關函式如下所示：
$$\mathit{y}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\tau)}$$ $$\mathit{x}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\tau)}$$ $$\mathit{n}\mathrm{(t)} \:\leftrightarrow\:\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\tau)}$$
然後，根據週期訊號自相關函式的定義，我們有：
$$\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{y}\mathrm{(t)}\mathit{y}\mathrm{(\mathit{t-\mathit{\tau)}}}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(t)}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(t)}]}\mathrm{}[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}]\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}]\:\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathrm{+}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\Rightarrow\mathit{R_\mathit{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}\mathrm{+}\lim_{T \rightarrow \infty}\frac{\mathrm{1}}{\mathit{T}}\int_{-\mathit{T/\mathrm{2}}}^{\mathit{T/\mathrm{2}}}\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\tau)}\mathrm{+}\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
由於週期訊號$\mathit{x}\mathrm{(t)}$和噪聲訊號$\mathit{n}\mathrm{(t)}$不相關。因此，
$$\mathit{R_{xn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=} \:\mathit{R_{nx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{= 0}$$ $$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\mathrm{=}\:\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{+}\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
因此，混合訊號的自相關$\mathit {R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$有兩個分量，即$\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$和$\mathit{R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$。由於週期函式的自相關也是相同頻率的週期函式，而非週期函式的自相關對於較大的延遲引數$\mathrm{(\mathit{\tau})}$趨於零。
由於在我們的例子中，訊號$\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$是週期訊號，噪聲訊號$\mathit{n}\mathrm{(\mathit{t})}$是非週期訊號。因此，自相關函式$\mathit {R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$是週期函式，而自相關函式$\mathit {R_{nn}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$對於引數$\tau$的較大值變得非常小。因此，對於引數$\mathrm{(\mathit{\tau})}$的較大值，我們有：
$$\therefore\mathit{R_{yy}}\mathrm{(\mathit{\tau})}\mathrm{=}\mathit{R_{xx}}\mathrm{(\mathit{\tau})}$$
因此，透過這種方式，任何週期訊號都可以透過自相關在噪聲訊號存在的情況下被檢測到。
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