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法律研究訊號的自相關函式
自相關函式
自相關函式定義了訊號與其時間延遲版本的相似性或一致性的度量。實能量訊號 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相關函式由下式給出：
$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x\mathrm(\mathit{t})}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$
能量譜密度 (ESD) 函式
訊號在頻域中的能量分佈稱為能量譜密度。訊號的 ESD 函式由下式給出：
$$\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}\: \mathrm{=}\: \mathrm{|\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}|}^\mathrm{2} \:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})} \mathit{X}\mathrm{(\mathit{-\omega})}$$
自相關定理
陳述 - 自相關定理指出，能量訊號 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相關函式 $\mathit{R}\mathrm{(\mathrm{\tau})}$ 和能量譜密度 (ESD) 函式 $\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$ 構成傅立葉變換對，即：
$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})} \:\mathrm{\leftrightarrow} \:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$
換句話說，自相關定理指出，自相關函式 $\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}$ 的傅立葉變換得到能量訊號 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的能量密度函式，即：
$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}]}\: \mathrm{=}\: \mathrm{\lvert}\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})\mathrm{\lvert}}^\mathrm{2} \:\mathrm{=}\: \mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$
證明
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}]} \:\mathrm{=} \:\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-j\omega t}}\:\mathit{dt}$$
因此，自相關函式 $\mathrm{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}$ 的傅立葉變換由下式給出：
$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R\mathrm{(\mathit{\tau})}}]} \:\mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty} \mathit{R}\mathrm{(\tau)}\mathit{e^{-j\omega\tau}} \:\mathit{d\tau}$$
實能量訊號 $\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}$ 的自相關函式定義為：
$$\mathit{R}\mathrm{(\tau)} \:\mathrm{=} \:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}$$ $$\therefore\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit\tau)}]}\: \mathrm{=}\: \int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{[\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(t)}\:\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\:\mathit{dt}]}\mathit{e^{-j\omega\tau}}\mathit{d\tau}$$
透過重新排列積分順序，我們得到：
$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm(\mathit{\tau})]} \:\mathrm{=}\:\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t})}\mathit{e^{-j\omega\tau}}\:\mathit{dt}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{e^{j\omega(t-\tau)}}\:\mathit{d\tau}$$ $$\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}]}\: \mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(\mathit{t-\tau})}\mathit{e^{j\omega(t-\tau)}}\:\mathit{d\tau}$$
透過在上述積分中用 $\mathrm{(t-\tau)}\:\mathrm{=}\:\mathit{p}$ 和 $\mathrm{d\tau}\:\mathrm{=}\:\mathit{dp}$ 替換，我們得到：
$$\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm(\mathit{\tau})]} \:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{(\omega)}\int_{-\infty}^{\infty}\mathit{x}\mathrm{(p)}\mathit{e^{j\omega p}}\:\mathit{dp} \:\mathrm{=}\: \mathit{X}\mathrm{(\omega)}\mathit{X}\mathrm{(-\omega)}$$ $$\Rightarrow\mathit{F}\mathrm{[\mathit{R}\mathrm{(\tau)}]}\:\mathrm{=}\:|\mathit{X}\mathrm{(\mathit{\omega})}|^\mathrm{2}\:\mathrm{=}\:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$
此外，
$$\mathit{R}\mathrm{(\mathit{\tau})}\:\leftrightarrow\:\mathit{\psi}\mathrm{(\mathit{\omega})}$$
因此，這證明了自相關定理。
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