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法學離散時間單位脈衝訊號的特性
什麼是離散時間脈衝序列？
離散時間單位脈衝序列δ[𝑛]，也稱為**單位樣本序列**，定義為：
$$\mathrm{\delta \left [ n \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 當\: n=0\ 0\; 當 \: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$
離散時間單位脈衝序列的特性
比例特性
根據離散時間單位脈衝序列的比例特性：
𝛿[𝑘𝑛] = 𝛿[𝑛]
其中，k為整數。
**證明** − 根據離散時間單位脈衝序列的定義：
$$\mathrm{\delta \left [ n \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 當\: n=0\ 0\; 當 \: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$同樣，對於比例單位脈衝序列：
$$\mathrm{\delta \left [ kn \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 當\: kn=0\ 0\; 當 \: kn
≠ 0\ \end{matrix}\right.}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \delta \left [ kn \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\; 當\: n=\frac{0}{k}=0\ 0\; 當 \: n
≠\frac{0}{k}
≠ 0\ \end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix} 1\; \; 當\: n=0\ 0\; \; 當\: n
≠ 0\ \end{matrix}\right.=\delta \left [ n \right ]}$$乘積特性
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0]
**證明** − 根據單位脈衝訊號的定義，我們知道：
$$\mathrm{\delta \left [ n-n_{0} \right ]=\left\{\begin{matrix} 1\: \: 當\: n=n_{0}\ 0\: \: 當\: n
≠ n_{0}\ \end{matrix}\right.}$$從表示式可以看出，脈衝序列僅在𝑛 = 𝑛0時具有非零值。因此：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0]
移位特性
$$\mathrm{x\left [ n \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$**證明** − 使用離散時間單位脈衝序列的乘積特性，我們有：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑛0] = 𝑥[𝑛0]𝛿[𝑛 − 𝑛0] … (1)
在等式(1)中用k代替𝑛0，我們得到：
𝑥[𝑛]𝛿[𝑛 − 𝑘] = 𝑥[𝑘]𝛿[𝑛 − 𝑘]
$$\mathrm{\Rightarrow \sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ n \right ]\delta \left [ n-k \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow x\left [ n \right ]\sum_{k=-\infty }^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$ $$\mathrm{\because \sum_{k=-\infty }^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]=1}$$ $$\mathrm{\therefore x\left [ n \right ]=\sum_{k=-\infty }^{\infty }x\left [ k \right ]\delta \left [ n-k \right ]}$$離散時間單位脈衝序列是離散時間單位階躍序列的一階差分。也就是說：
𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1]
**證明** − 根據離散時間單位階躍序列的定義：
$$\mathrm{u\left [ n \right ]=\sum_{k=0}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ] =\delta \left [ n \right ]+\sum_{k=1}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ] }$$ $$\mathrm{\because u\left [ n-1 \right ]=\sum_{k=1}^{\infty }\delta \left [ n-k \right ]}$$∴ 𝑢[𝑛] = 𝛿[𝑛] + 𝑢[𝑛 − 1]
⟹ 𝛿[𝑛] = 𝑢[𝑛] − 𝑢[𝑛 − 1]
更新於：2021年11月12日
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