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法律研究離散時間系統的BIBO穩定性
穩定性和因果性
因果線性時不變 (LTI) 離散時間系統滿足BIBO穩定的充分必要條件為：
$$\mathrm{\mathit{\sum_{n=\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
因此，如果LTI離散時間系統的衝激響應絕對可和，則該系統是BIBO穩定的。
此外，*為了使系統具有因果性*，系統的衝激響應必須在𝑛 < 0時等於零，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( n \right )=\mathrm{0};\; \; \mathrm{for}\: n< \mathrm{0}}}$$
*換句話說*，如果給定的LTI離散時間系統是因果的，則H(z)的收斂域(ROC)將位於最外極點之外。
因此，對於因果LTI離散時間系統，H(z)的所有極點都必須位於z平面的單位圓內，即系統的傳遞函式的收斂域必須包含單位圓。
LTI離散時間系統穩定性的時域條件
對於一個系統，當有界輸入序列總是產生有界輸出序列時，則稱該系統為*穩定系統*。另一方面，如果對於有界序列，輸出序列是無界的，則稱該系統為*不穩定系統*。
現在，考慮$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一個有界輸入序列，滿足$\mathrm{\mathit{\left|x\left ( n \right ) \right|\leq M_{x}\leq \infty }}$，$\mathrm{\mathit{h\left ( n \right )}}$是系統的衝激響應，則系統的輸出y(n)可以使用卷積和確定，即：
$$\mathrm{\mathit{y\left ( n \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( k \right )h\left ( n-k \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right )}}$$
輸出序列的幅值由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\left|\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|}}$$
由於項的和的幅值小於或等於幅值的和，即：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\left|\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }h\left ( k \right )x\left ( n-k \right ) \right|\leq \sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right )\right|\left|x\left ( n-k \right ) \right|}}$$
現在，考慮輸入的有界值為M，則上述表示式變為：
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|\leq M\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right ) \right|}}$$
為了使系統穩定，
$$\mathrm{\mathit{\left|y\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
此條件將在以下情況下滿足：
$$\mathrm{\mathit{\sum_{k\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left|h\left ( k \right ) \right|< \infty }}$$
即，如果LTI系統的衝激響應絕對可和，則該系統是BIBO穩定的。這是LTI離散時間系統穩定性的充分必要時域條件。
解釋——對於穩定系統，系統傳遞函式的收斂域包含單位圓：
由於因果LTI離散時間系統滿足BIBO穩定的充分必要條件是
$$\mathrm{\mathit{\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|< \infty }}$$
並且因果LTI離散時間系統的系統傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }h\left ( n \right )z^{-n}}}$$
傳遞函式的幅值由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right )z^{-n}\right|}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow \left|H\left ( z \right ) \right|\leq \sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right ) \right|\left|z^{-n}\right|}}$$
因此，在單位圓（對於單位圓|𝑧| = 1）上對傳遞函式$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|}}$的幅值進行評估，結果為：
$$\mathrm{\mathit{\left|H\left ( z \right ) \right|\leq \sum_{n\mathrm{\,=\,}\mathrm{0}}^{\infty }\left|h\left ( n \right )\right|< \infty }}$$
因此，這表明對於穩定系統，系統傳遞函式的收斂域包含單位圓。
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