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法律學訊號與系統：BIBO穩定性判據
有界訊號
幅度為有限值的訊號稱為有界訊號。正弦波就是一個有界訊號的例子。
BIBO穩定系統
如果且僅當系統的所有有界輸入都產生有界輸出時，該系統稱為BIBO穩定（或有界輸入、有界輸出穩定）系統。
BIBO穩定性判據
為了使系統BIBO穩定，其必要條件由以下表達式給出：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\left | h(t) \right |dt < \infty \; \;}\;\;...(1)$$
其中，h(t)是系統的衝激響應。表示式(1)中給出的條件稱為**BIBO穩定性判據**。
證明
考慮一個具有輸入x(t)和輸出y(t)的LTI（線性時不變）系統。因此，系統的輸入和輸出透過卷積積分相關，即
$$\mathrm{y(t)=\int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )h\left ( t-\tau \right )d\tau \: \: } \;\;...(2)$$
在兩邊取模（即絕對值），得到：
$$\mathrm{\left | y(t) \right |=\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )h\left ( t-\tau \right )d\tau \right | \: \: }\;\; ...(3)$$
根據三角不等式，兩個項的乘積的積分的絕對值始終小於或等於其絕對值的積分。因此，利用這一事實，我們得到：
$$\mathrm{\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )\; h\left ( t-\tau \right )d\tau \right |\leq\int_{-\infty }^{\infty }\left |x(\tau )\right |\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau } $$
現在，如果系統的輸入x(τ)是有界的（或有限的），即
$$\mathrm{\left | x(\tau ) \right |\leq K_{x}<\infty } $$
其中，𝐾𝑥 是一個實正整數。
那麼，
$$\mathrm{\left | \int_{-\infty }^{\infty}x(\tau )\; h\left ( t-\tau \right )d\tau \right |\leq\: K_{x}\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau } $$
$$\mathrm{\Rightarrow \left | y(t) \right |\leq\: K_{x}\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t-\tau \right ) \right |d\tau } $$
用𝑢 = (𝑡 − 𝜏); 𝑑𝜏 = 𝑑𝑢替換變數。然後，如果滿足以下條件，則系統的輸出是有界的（即𝑦(𝑡) < ∞）
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( u \right ) \right |du<\infty} $$
用t替換u，得到：
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty }\;\left | h\left ( t \right ) \right |dt<\infty} $$
這是系統BIBO穩定的充要條件。
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