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法學訊號與系統 – 物理實現的因果性和Paley-Wiener準則
因果性條件
因果系統是指在輸入訊號施加之前不產生輸出的系統。因此，對於線性時不變(LTI)系統來說，要使其因果，系統的衝激響應必須在t小於0時為零，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}\mathrm{0};\; \; \mathrm{for}\: \: t< 0}}$$
術語“物理實現”表示可以在實際時間內物理地構建該系統。物理可實現的系統在輸入訊號施加之前不會產生輸出。這被稱為系統的因果性條件。
因此，物理可實現系統的時域準則為：單位衝激響應ℎ(𝑡)必須是因果的。
在頻域中，該準則表示物理可實現的幅度函式𝐻(𝜔)的充要條件為：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }\frac{\mathrm{ln}\left | H\left ( \omega \right ) \right |}{\left ( \mathrm{1}\mathrm{+}\omega ^{\mathrm{2}} \right )}d\omega < \infty }}$$
但是，在Paley-Wiener準則有效之前，幅度函式|𝐻(𝜔)|必須是平方可積的，即：
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }\left | H\left ( \omega \right ) \right |^{\mathrm{2}}d\omega < \infty }}$$
因此，幅度函式違反Paley-Wiener準則的系統具有非因果的衝激響應，即系統響應存在於施加輸入訊號之前。
Paley-Wiener準則的結論
從Paley-Wiener準則得出的結論如下：
幅度函式|𝐻(𝜔)|可能在某些離散頻率處為零，但不能在一個有限的頻帶範圍內為零，因為這將導致Paley-Wiener準則方程中的積分變為無窮大，這意味著理想濾波器在物理上是不可實現的。
幅度函式|𝐻(𝜔)|不能比指數階函式衰減得更快。這表示可實現的幅度特性不能具有過大的總衰減。
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