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法學離散時間系統的頻率響應是什麼？
離散時間系統的頻率響應
將一系列輸入正弦波應用於線性時不變離散時間系統以獲得系統的頻率響應。離散時間系統的頻率響應給出了系統對所有頻率下輸入正弦波的幅度和相位響應。
現在，設線性時不變離散時間系統的衝激響應為$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$，系統的輸入為復指數函式，即$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathit{j\omega n}}}$。則系統的輸出$\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 透過卷積定理獲得，即
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}*\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-k}\right)}}$$
由於系統的輸入為$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathit{j\omega n}}}$，則
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{e^{\mathit{j\omega \mathrm{\left ( \mathit{n-k}\right )}}}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\omega n}}\sum_{\mathit{k=-\infty} }^{\infty}\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{k}\right)}\mathit{e^{\mathit{-j\omega k}}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{j\omega n }}\cdot \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
其中
$\mathit{e^{j\omega n }}$ 是輸入序列，並且
$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 是離散時間系統的頻率響應。
因此，離散時間系統的輸出與輸入相同，只是幅度和相位由$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 修改。離散時間系統的頻率響應$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 是一個複數，可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|\mathit{e^{j\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}}$$
其中
$\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$ 稱為離散時間系統的 *幅度響應*，並且
$\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 稱為系統的 *相位響應*。
此外，$\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$ 與 $\omega$ 的關係圖稱為 *幅度響應圖*，$\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 與 $\omega$ 的關係圖稱為 *相位響應圖*。
離散時間系統頻率響應的特性
如果線性時不變離散時間系統的衝激響應$\mathit{h}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$ 是一個實數序列，則頻率響應$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 具有以下特性：
頻率響應$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 對所有$\omega$ 都取值。
頻率響應$\mathrm{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$ 關於$\omega$ 是週期性的，週期為 2$\pi$。
$\left|\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)} \right|$，即系統的幅度響應，是$\omega$ 的偶函式，關於$\pi$ 對稱。
$\angle \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}$，即系統的相位響應，是$\omega$ 的奇函式，關於$\pi$ 反對稱。
數值示例
求下列離散時間因果系統的頻率響應。
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-2\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{5}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$
解答
如果 X(ω) 和 Y(ω) 分別是輸入和輸出序列的傅立葉變換，則離散時間系統的頻率響應由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}}$$
現在，描述系統的方程為
$$\mathrm{\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-2\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{y}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{2}}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}-\frac{3}{5}\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n-\mathrm{1}}\right)}}$$
對等式兩邊進行離散時間傅立葉變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}-2\mathit{e^{-j\omega }}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{+}\:\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}-\:\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }}\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathrm{\left ( 1-2\mathit{e^{-j\omega }} +\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\right )}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }} \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{\mathrm{\left ( 1-\frac{3}{5}\mathit{e^{-j\omega }} \right )}}{\mathrm{\left ( 1-2\mathit{e^{-j\omega }} +\frac{2}{9}\mathit{e^{-j\mathrm{2}\omega }}\right )}}}$$
$$\mathrm{\therefore \mathit{H}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}\:\mathrm{=}\: \frac{\mathit{Y}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}{\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{\omega }\right)}}\:\mathrm{=}\:\frac{^{\mathit{e}^\mathit{j\omega} }\mathrm{\left ( \mathit{e^{j\omega }-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}} \right )}}{\mathrm{\left ( \mathit{e^{j\mathrm{2}\omega }-\mathrm{2}\mathit{e^{j\omega }}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9}}} \right )}}}$$
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