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法律研究訊號與系統：時變系統和時不變系統
系統的特性使得系統行為獨立於時間，這被稱為時不變性。時不變性意味著系統行為不依賴於輸入施加到系統的時間。
時不變系統
如果系統的輸入和輸出特性不隨時間變化，則該系統稱為時不變系統。
連續時間情況
連續時間系統的時不變性可以透過以下方式進行測試：
假設 x(t) 是輸入，x(t-t0) 是延遲 t0 個單位的輸入。那麼，系統對於輸入 x(t) 的輸出為
𝑥(𝑡) → 𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)]
對於輸入 x(t-t0) 的輸出為
𝑥(𝑡 − 𝑡0) → 𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0)
此外，延遲 t0 個單位的輸出為
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|𝑡=(𝑡−𝑡0)
如果
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
也就是說，當系統的延遲輸出等於延遲輸入引起的輸出對於所有可能的 t 值都相等時，則該系統為時不變系統。
如果連續時間系統由微分方程描述，並且如果微分方程的係數為常數，則該系統稱為時不變系統。例如，
$$\mathrm{5\frac{\mathrm{d} ^{2}y(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+4\frac{\mathrm{dy}(t) }{\mathrm{d} t}+3y(t)=2x(t)}$$
由上述微分方程表示的系統是時不變系統，因為其所有係數都是常數。
離散時間情況
在離散時間情況下，時不變性被稱為移不變性。
給定系統是否為時不變可以透過以下方式進行測試：
考慮 x(n) 是輸入，x(n-k) 是給定離散時間系統的延遲輸入。那麼，對應於 x(n) 的系統輸出由下式給出
𝑥(𝑛) → 𝑦(𝑛) = 𝑇[𝑥(𝑛)]
而對於延遲輸入的輸出為
𝑥(𝑛 − 𝑘) → 𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑇[𝑥(𝑛 − 𝑘)] = 𝑦(𝑛)|𝑥(𝑛)=𝑥(𝑛−𝑘)
此外，系統輸出延遲 k 個單位為
𝑦(𝑛 − 𝑘) = 𝑦(𝑛)|𝑛=(𝑛−𝑘)
如果
𝑦(𝑛, 𝑘) = 𝑦(𝑛 − 𝑘)
也就是說，當系統的延遲輸出等於延遲輸入引起的輸出對於所有可能的 k 值都相等時，則該系統為時不變系統。
如果離散時間系統由差分方程描述，並且如果差分方程的係數為常數，則該系統將為時不變系統。例如，
𝑦(𝑛) + 5𝑦(𝑛 − 2) + 4𝑦(𝑛 − 1) = 5𝑥(𝑛)
由上述差分方程描述的系統是時不變系統，因為所有係數都是常數。
時變系統
輸入和輸出特性隨時間變化的系統稱為時變系統。
連續時間情況
對於連續時間時變系統，系統的延遲輸出不等於延遲輸入引起的輸出，即
𝑦(𝑡, 𝑡0) ≠ 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
如果連續時間系統由微分方程描述，並且如果其係數是時間的函式，則該系統為時變系統。例如，
$$\mathrm{5t^{2}\frac{\mathrm{d} ^{2}y(t)}{\mathrm{d} t^{2}}+4t\frac{\mathrm{dy}(t) }{\mathrm{d} t}+3y(t)=2x(t)}$$
由該微分方程描述的系統是時變系統，因為其所有係數都不是常數或時間的函式。
離散時間情況
對於離散時間時變系統，系統的輸出不等於延遲輸入引起的輸出，即
𝑦(𝑛, 𝑘) ≠ 𝑦(𝑛 − 𝑘)
如果使用差分方程來描述離散時間系統，則如果其係數是時間的函式，則該系統將為時變系統。例如，
𝑦(𝑛) + 5𝑛𝑦(𝑛 − 2) + 4𝑛2𝑦(𝑛 − 1) = 𝑥(𝑛) + 𝑥(𝑛 − 2)
此係統是時變系統，因為某些係數是時間的函式。
數值示例
確定以下系統是時不變還是時變：
𝑦(𝑡) = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
𝑦(𝑡) = 3𝑒3𝑥(𝑡)
解 (1)
給定系統為：
𝑦(𝑡) = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
這裡：
𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] = 2𝑡2 𝑥(𝑡)
系統對於延遲 𝑡0 秒的輸入的輸出為：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0) = 2𝑡2 𝑥(𝑡 − 𝑡0)
而系統延遲 𝑡0 秒的輸出為：
𝑦(𝑡 − 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|𝑡=(𝑡−𝑡0) = 2(𝑡 − 𝑡0)2 𝑥(𝑡 − 𝑡0)
因此：
𝑦(𝑡, 𝑡0) ≠ 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
因此，給定系統是時變系統。
解 (2)
給定系統為：
𝑦(𝑡) = 3𝑒3𝑥(𝑡)
這裡：
𝑦(𝑡) = 𝑇[𝑥(𝑡)] = 3𝑒3𝑥(𝑡)
系統對於延遲 𝑡0 秒的輸入的輸出為：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑇[𝑥(𝑡 − 𝑡0)] = 𝑦(𝑡)|𝑥(𝑡)=𝑥(𝑡−𝑡0) = 3𝑒3𝑥(𝑡−𝑡0)
系統延遲 𝑡0 秒的輸出為：
𝑦(𝑡- 𝑡0) = 𝑦(𝑡)|t=(𝑡−𝑡0)= 3𝑒3𝑥(𝑡−𝑡0)
因此，對於給定系統：
𝑦(𝑡, 𝑡0) = 𝑦(𝑡 − 𝑡0)
因此，該系統是時不變系統。
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