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法學訊號與系統——線性時不變 (LTI) 系統的傳遞函式
連續時間 LTI 系統的傳遞函式可以使用拉普拉斯變換或傅立葉變換定義。此外，LTI 系統的傳遞函式只能在零初始條件下定義。連續時間 LTI 系統的框圖如下所示。
頻域中 LTI 系統的傳遞函式
LTI 系統的傳遞函式 H(ω) 可以透過以下幾種方式定義：
LTI 系統的傳遞函式定義為輸出訊號的傅立葉變換與輸入訊號的傅立葉變換之比，前提是初始條件為零。
或者，當忽略初始條件時，傳遞函式定義為頻域中輸出與輸入之比。
或者，LTI 系統的傳遞函式是其衝激響應的傅立葉變換。
數學上，頻域中 LTI 系統的傳遞函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}\frac{Y\left ( \omega \right )}{X\left ( \omega \right )} }}$$
傳遞函式 H(ω) 是一個複數，因此它既有幅度也有相位。
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}\left | H\left ( \omega \right ) \right |e^{j\theta \left ( \omega \right )} }}$$
頻域中的傳遞函式 H(ω) 也稱為 *LTI 系統的頻率響應*。LTI 系統的頻率響應具有幅度響應和相位響應，即：
$$\mathrm{LTI 系統的幅度響應 \mathrm{=}\mathit{\left | H\left ( \omega \right ) \right | }}$$
$$\mathrm{LTI 系統的相位響應 \mathrm{=}\mathit{\theta \left ( \omega \right )\mathrm{=}\angle H\left ( \omega \right ) }}$$
由於輸出的頻譜為：
$$\mathrm{\mathit{Y \left ( \omega \right )\mathrm{=} H\left ( \omega \right )\cdot X\left ( \omega \right ) }}$$
因此：
$$\mathrm{輸出的幅度, \mathit{\left | Y \left ( \omega \right ) \right |\mathrm{=} \left | H\left ( \omega \right ) \right |\cdot \left | X\left ( \omega \right ) \right | }}$$
$$\mathrm{輸出的相位, \mathit{\angle Y \left ( \omega \right )\mathrm{=} \angle H\left ( \omega \right )\mathrm{+} \angle X\left ( \omega \right ) }}$$
此外，LTI 系統的傳遞函式具有共軛對稱性，即：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( -\omega \right )\mathrm{=}H^{*}\left ( \omega \right )}}$$
$$\mathrm{幅度,\mathit{\left | H\left ( -\omega \right ) \right |\mathrm{=}\left | H\left ( \omega \right ) \right |}}$$
並且
$$\mathrm{相位,\mathit{\angle H\left ( -\omega \right )\mathrm{=}-\angle H\left ( \omega \right )}}$$
LTI 系統的衝激響應 h(t) 是其傳遞函式 H(ω) 的逆傅立葉變換，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}F^{-1}\left [ H\left ( \omega \right ) \right ]}}$$
s 域中 LTI 系統的傳遞函式
s 域中 LTI 系統的傳遞函式 H(s) 可以透過以下幾種方式定義：
當初始條件為零時，LTI 系統的傳遞函式可以定義為輸出訊號的拉普拉斯變換與輸入訊號的拉普拉斯變換之比。
或者，當忽略初始條件時，傳遞函式定義為 s 域中輸出與輸入之比。
或者，LTI 系統的傳遞函式是其衝激響應的拉普拉斯變換。
數學上，在拉普拉斯域或 s 域中，LTI 系統的傳遞函式定義為：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( s \right )\mathrm{=}\frac{Y\left ( s \right )}{X\left ( s \right )}}}$$
並且，s 域中 LTI 系統的衝激響應 h(t) 是傳遞函式 H(s) 的逆拉普拉斯變換，即：
$$\mathrm{\mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}L^{-1}\left [ H\left ( s \right ) \right ]}}$$
注意 – 一旦知道了 s 域中 LTI 系統的傳遞函式 H(s)，就可以透過在 H(s) 中用 jω 代替 s 來確定頻域中的傳遞函式 H(ω)，即：
$$\mathrm{\mathit{H\left ( \omega \right )\mathrm{=}H\left ( s \right )|_{s\mathrm{=}j\omega } }}$$
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