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法律研究訊號與系統 – 零階保持器及其傳遞函式（實際重建）
資料重建
資料重建定義為從取樣訊號 $\mathrm{\mathit{x_{s}\left ( t \right )}}$ 獲取模擬訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )}}$ 的過程。資料重建也稱為插值。
取樣訊號由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{x_{s}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( t \right )\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }\delta \left ( t-nT \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{x_{s}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\delta \left ( t-nT \right )}}$$
其中，$\mathrm{\mathit{\delta \left ( t-nT \right )}}$ 除在時刻 $\mathrm{\mathit{t\mathrm{=}nT}}$ 外均為零。一個假設為線性時不變的重建濾波器具有單位衝激響應 ℎ(𝑡)。重建濾波器的輸出由卷積給出，如下所示：
$$\mathrm{ \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\delta \left ( k-nT \right )h\left ( t-k \right )dk}}$$
透過重新排列積分和求和的順序，我們得到：
$$\mathrm{ \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\int_{-\infty }^{\infty }\delta \left ( k-nT \right )h\left ( t-k \right )dk}}$$
$$\mathrm{ \therefore \mathit{y\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )h\left ( t-nT \right )}}$$
什麼是零階保持器？
零階保持器是一種廣泛用於即時重建訊號的方法。在零階保持器重建方法中，透過保持給定樣本一段時間直到收到下一個樣本，來從其樣本重建連續訊號。因此，零階保持器生成階躍近似。
圖中顯示了透過零階保持器進行重建的過程。
在數學上，零階保持器的輸出由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( n \right );\; \; \mathrm{for}\: nT\leq n\leq \left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T }}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( \mathrm{0} \right );\; \; \mathrm{for}\: \mathrm{0}\leq t\leq T }}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( T \right );\; \; \mathrm{for}\: T\leq t\leq \mathrm{2}T}}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( \mathrm{2}T \right );\; \; \mathrm{for}\: \mathrm{2}T\leq t\leq \mathrm{3}T\: \: \mathrm{and\: so\: on}}}$$
此外，零階保持器的衝激響應由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{h(t)\mathrm{=}\left\{\begin{matrix} \mathrm{1} &\mathrm{for\: 0}\leq t\leq T \ \mathrm{0}& \mathrm{otherwise} \ \end{matrix}\right.}}$$
零階保持器的傳遞函式
零階保持器的輸出 $\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )}}$ 由其衝激響應 ℎ(𝑡) 及其輸入 $\mathrm{\mathit{x\left ( nT \right )}} $ 的卷積給出，即：
$$\mathrm{\mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}x\left ( nT \right )\ast h\left ( t \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right ) h\left ( t -nT\right )}}$$
由於零階保持器的衝激響應由下式給出：
$$\mathrm{ \mathit{h\left ( t \right )\mathrm{=}u\left ( t \right )-u\left ( t-T \right )}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{h\left ( t-nT \right )\mathrm{=}u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]}} $$
$$\mathrm{\mathit{\therefore \tilde{x}_{a}\left ( t \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left\{ u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]\right\}}}$$
對等式兩邊進行拉普拉斯變換，得到：
$$\mathrm{\mathit{ L\left [ \tilde{x}_{a}\left ( t \right ) \right ]\mathrm{=}L\left [ \sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left\{ u\left ( t -nT\right )-u\left [ t-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )T \right ]\right\} \right ]}}$$
$$\mathrm{\mathit{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )\mathrm{=}\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )\left [ \frac{e^{-nTs}}{s}-\frac{e^{-\left ( n\mathrm{\: +\: }\mathrm{1} \right )Ts}}{s} \right ]\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )\sum_{n\mathrm{=}-\infty }^{\infty }x\left ( nT \right )e^{-nTs}}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )X^{\ast }\left ( s \right )}}$$
因此，零階保持器的傳遞函式由下式給出：
$$\mathrm{ \mathit{TF\mathrm{=}\frac{\tilde{X}_{a}\left ( s \right )}{X^{\ast }\left ( s \right )}\mathrm{=}\left ( \frac{\mathrm{1}-e^{-Ts}}{s} \right )}}$$
零階保持器的輸出包含高次諧波，因為它包含階躍。可以透過將 ZOH 的輸出應用於低通濾波器來去除這些諧波。此 LPF 傾向於平滑零階保持器生成的階躍近似的角。因此，此 LPF 也稱為平滑濾波器。
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