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法律研究訊號與系統：穩定與不穩定系統
穩定系統或BIBO穩定系統
當且僅當每個有界輸入產生有界輸出時，系統被稱為BIBO**(有界輸入有界輸出)穩定系統**或簡稱為**穩定系統**。穩定系統的輸出不會發生不合理的改變。
系統的穩定性表明了系統的實用性。系統的穩定性可以透過系統的衝激響應來確定。系統的衝激響應只不過是系統對單位衝激輸入的輸出。
如果系統的衝激響應對於連續時間系統是絕對可積的，或者對於離散時間系統是絕對可和的，則該系統是穩定系統。
假設輸入訊號x(t)是有界訊號，即：
|𝑥(𝑡)| < 𝐾𝑥 < ∞ for − ∞ < 𝑡 < ∞
其中，𝐾𝑥 是一個正實數。然後，如果
|𝑦(𝑡)| < 𝐾𝑦 < ∞
也就是說，系統的輸出y(t)也是有界的，則該系統稱為**BIBO穩定系統**。
不穩定系統
如果一個系統不滿足BIBO穩定性條件，則該系統被稱為不穩定系統。因此，對於有界輸入，不穩定系統不一定產生有界輸出。因此，我們可以說，即使一個有界輸入產生了一個無界輸出，系統也是不穩定的。
解題示例
確定給定系統是穩定還是不穩定：
𝑦(𝑡) = 𝑒𝑥(𝑡) for |𝑥(𝑡)| ≤ 6
$\mathrm{h(t)=\frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t)}$
𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7)𝑢(𝑡)
ℎ(𝑡) = 𝑒3𝑡𝑢(𝑡)
解答
給定系統的輸出為：
𝑦(𝑡) = 𝑒𝑥(𝑡) for |𝑥(𝑡)| ≤ 6
給定系統的輸入是有界的，即：
|𝑥(𝑡)| ≤ 6
因此，為了使系統穩定，輸出必須是有界的。
對於給定系統，輸出y(t)變為：
𝑒−6 ≤ 𝑦(𝑡) ≤ 𝑒6
因此，輸出y(t)也是有界的。因此，該系統是穩定的。
給定系統為
$$\mathrm{h(t)=\frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t)}$$對於系統的穩定性，
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt< \infty }$$對於給定系統，
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\int_{-\infty }^{\infty}\:\left | \frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}}u(t) \right |dt=\int_{0}^{\infty}\:\left | \frac{1}{RC}e^{\frac{-t}{RC}} \right |dt }=1< \infty $$因此，給定系統是一個穩定系統。
給定系統為
𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7)𝑢(𝑡)
⟹ 𝑦(𝑡) = (𝑡 + 7); 𝑡 ≥ 0
因此，
對於 𝑡 → ∞; 𝑦(𝑡) → ∞
因此，系統的輸出無限增大。因此，給定系統是不穩定系統。
給定系統的輸出為
ℎ(𝑡) = 𝑒3𝑡𝑢(𝑡)
對於系統的穩定性，
$$\mathrm{\int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\int_{-\infty }^{\infty}\left | e^{3t}u(t) \right |dt=\int_{0 }^{\infty}\left | e^{3t} \right |dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \int_{-\infty }^{\infty}\: \left | h(t) \right |dt=\left [ \frac{e^{3t}}{3} \right ]_{0}^{\infty }=\left [ \frac{e^{\infty }}{3}- \frac{e^{0}}{3}\right ]=\infty }$$給定系統的衝激響應不是絕對可積的。因此，給定系統是不穩定系統。
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