資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝學
法學訊號的偶分量和奇分量
偶訊號
如果一個訊號關於垂直軸或時間原點對稱，則稱該訊號為偶訊號，即：
𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡); 對所有𝑡 … 連續時間訊號
𝑥(𝑛) = 𝑥(−𝑛); 對所有𝑛 … 離散時間訊號
奇訊號
如果一個訊號關於垂直軸反對稱，則稱該訊號為奇訊號，即：
𝑥(−𝑡) = −𝑥(𝑡); 對所有𝑡 … 連續時間訊號
𝑥(−𝑛) = −𝑥(𝑛); 對所有𝑛 … 離散時間訊號
確定訊號的偶分量和奇分量
連續時間情況
並非每個訊號都是純偶訊號或純奇訊號，但訊號可以表示為偶分量和奇分量的和，即：
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) … (1)
其中：
𝑥𝑒 (𝑡) 是訊號的偶分量，並且
𝑥𝑜 (𝑡) 是訊號的奇分量。
根據偶訊號和奇訊號的定義，我們有：
𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (−𝑡) + 𝑥𝑜 (−𝑡)
⟹ 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) … (2)
將式 (1) 和 (2) 相加，我們得到：
𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) + 𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑒 (𝑡)
∴ 𝑥𝑒 (𝑡) =12[𝑥(𝑡) + 𝑥(−𝑡)] … (3)
$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]} \;\;...(3)$$
再次，從式 (1) 中減去式 (2)，我們得到：
𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = [𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡)] − [𝑥𝑒 (𝑡) − 𝑥𝑜 (𝑡)]
⟹ 𝑥(𝑡) − 𝑥(−𝑡) = 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) − 𝑥𝑒 (𝑡) + 𝑥𝑜 (𝑡) = 2𝑥𝑜 (𝑡)
$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]}\;\; ...(4)$$
因此，方程 (3) 和 (4) 分別給出了連續時間訊號的偶分量和奇分量。
離散時間情況
離散時間訊號 x(n) 的偶分量和奇分量由下式給出：
$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]} \;\;...(5)$$
$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]}\;\;...(6)$$
數值例子 1
求連續時間訊號𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡的偶分量和奇分量。
解答
給定訊號為：
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑗4𝑡
∴ 𝑥(−𝑡) = 𝑒−𝑗4𝑡
訊號的偶分量為：
$$\mathrm{\therefore x_{e}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)+x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}+e^{-j4t} \right )=\cos 4t}$$
並且，訊號的奇分量為：
$$\mathrm{\therefore x_{0}(t)=\frac{1}{2}\left [ x(t)-x(-t) \right ]=\frac{1}{2}\left ( e^{j4t}-e^{-j4t} \right )=j\sin4t }$$
數值例子 2
求離散時間訊號 x(n) 的偶分量和奇分量，其中：
$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
解答
給定的離散時間序列為：
$$\mathrm{x(n)=\begin{Bmatrix} 5,6,3,4,1\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
這裡：
𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
$$\mathrm{\therefore x(-n)=\begin{Bmatrix} 1, 4, 3, 6, 5\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
因此，該序列的偶分量為：
$$\mathrm{ x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)+x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 + 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x_{e}(n)=\frac{1}{2}\left [5 + 1, 6 + 4, 3 + 3, 4 + 6, 1 + 5 \right ]=\frac{1}{2}\left [6, 10, 6, 10, 6 \right ]}$$
$$\mathrm{\therefore x_{e}(n)=\begin{Bmatrix} 3, 5, 3, 5, 3\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
而該序列的奇分量為：
$$\mathrm{ x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [ x(n)-x(-n) \right ]=\frac{1}{2}\left [5, 6, 3, 4, 1 - 1, 4, 3, 6, 5 \right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x_{0}(n)=\frac{1}{2}\left [5-1,6-4,3-3,4-6,1-5\right ]=\frac{1}{2}\left [4,2,0,-2,-4\right ]}$$
$$\mathrm{\therefore x_{0}(n)=\begin{Bmatrix} 2, 1, 0, -1, -2\ \uparrow \ \end{Bmatrix}}$$
26K+ 瀏覽量
