資料結構
網路
關係型資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理學
化學
生物學
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝研究
法律研究無限時間內功率訊號的能量
什麼是功率訊號？
如果訊號的平均功率 (P) 是有限的，即 0 < 𝑃 < ∞，則該訊號被稱為功率訊號。功率訊號在無限時間內的總能量是無限的，即 𝐸 = ∞。週期訊號是功率訊號的例子。
功率訊號的能量
考慮一個連續時間功率訊號 x(t)。訊號 x(t) 的功率是有限的，由下式給出：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt\; \; ...(1)}$$
因此，訊號的能量由下式給出：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\left [2T\cdot \frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt \right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }2T\left [\lim_{T\rightarrow \infty } \frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt \right ]\; \; ...(2)}$$
使用公式 (1) 和 (2)，我們得到：
$$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }2T\cdot P=\infty}$$
因此，功率訊號在無限時間內的能量是無限的。
數值例子
確定訊號 𝑥(𝑡) = sin2 𝜔𝑡 是否為功率訊號。如果是，則計算訊號的功率和能量。
解答
給定訊號為：
𝑥(𝑡) = sin2 𝜔𝑡
由於給定訊號 x(t) 是一個平方正弦波，它是一個週期訊號，因此它可以是功率訊號。
訊號的平均功率：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }\left [\sin ^{2}\omega t \right ]^{2}dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }\sin ^{4}\omega t\; dt}$$
根據標準三角關係的定義，我們得到：
$$\mathrm{\sin ^{4}\omega t=\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)}$$ $$\mathrm{\therefore P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{3}{8}\: dt-\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{4}{8}cos 2\omega t\: dt+\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}\cos 4\omega t\: dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ t \right ]_{-T}^{T}-0+0}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ T+T \right ]=\frac{3}{8}}$$
因此，給定訊號的功率是有限的，等於 𝑃 = 3⁄8 瓦。
現在，訊號的能量：
$$\mathrm{E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T }^{T }\left [\sin ^{2}\omega t \right ]^{2}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T}^{T}\frac{1}{8}(3-4\cos 2\omega t+\cos 4\omega t)dt=\lim_{T\rightarrow \infty }\left ( \frac{3}{8} \right )\left [ t \right ]_{-T}^{T}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\lim_{T\rightarrow \infty }\left ( \frac{3}{8} \right )\left [2T \right ]=\infty }$$
因此，給定功率訊號在無限時間內的能量是無限的。
2K+ 次瀏覽
