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法律研究能量訊號在無限時間內的功率
什麼是能量訊號？
當且僅當訊號的總能量 (E) 是有限的時，該訊號被稱為能量訊號。這意味著 0 < 𝐸 < ∞。能量訊號的平均功率在無限時間內為零（即，P = 0）。非週期訊號是能量訊號的例子。
能量訊號的功率
考慮一個連續時間能量訊號 x(t)。訊號 x(t) 的能量是有限的，即：
$$\mathrm{E=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)dt=有限\; \; ...(1)}$$
因此，訊號 x(t) 的功率為：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x^{2}(t)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left [ \lim_{T\rightarrow \infty }\int_{-T}^{T}x^{2}(t)dt \right ]}$$ $$\mathrm{\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)dt}\; \; ...(2) }$$
從公式 (1) 和 (2)，我們得到：
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left [ E \right ]}$$ $$\mathrm{\because \lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}=\frac{1}{\infty }=0}$$ $$\mathrm{\therefore P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left [ E \right ]=0\times E=0}$$
因此，能量訊號的功率在無限時間內為零。
數值示例
確定訊號 $\mathrm{x(t)=rect(\frac{t}{\tau })}$ 是否為能量訊號。如果是，則計算能量訊號的能量和功率。
解答
給定訊號為：
$$\mathrm{x(t)=rect(\frac{t}{\tau })}$$
給定訊號 x(t) 是一個矩形函式，其定義為
$$\mathrm{rect(\frac{t}{\tau })=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for \left ( -\frac{\tau }{2} \right )<t<\left ( \frac{\tau}{2} \right )\ 0\; \;\;\; otherwise\ \end{matrix}\right.}$$
該圖顯示了訊號 x(t) 的圖形表示。它是一個非週期訊號，因此它可以是能量訊號。
$$\mathrm{E=\int_{-\infty }^{\infty }x^{2}(t)dt=\int_{(-\tau /2)}^{(\tau /2)}(1)^{2}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow E=\frac{\tau }{2}+\frac{\tau }{2}=\tau}$$
因此，訊號的能量是有限的，並且為 E = τ 焦耳。
訊號的功率 -
$$\mathrm{P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{-T }^{T }x^{2}(t)dt=P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\int_{(-\tau /2)}^{(\tau /2)}(1)^{2}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow P=\lim_{T\rightarrow \infty }\frac{1}{2T}\left [ \tau \right ]=0}$$
給定訊號的功率在無限時間內為零。因此，它是一個能量訊號。
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