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法學週期訊號的傅立葉級數表示
什麼是傅立葉級數？
在工程領域，大多數現象本質上是週期性的，例如交流電流和電壓。這些週期函式可以透過稱為**傅立葉級數**的過程分解為其組成部分進行分析。
因此，傅立葉級數可以定義如下：
“用正交函式（即正弦和餘弦函式）的線性組合表示一定時間間隔內週期訊號的方法稱為**傅立葉級數**。”
傅立葉級數僅適用於週期訊號，即在 $(-\infty\:to\:\infty)$ 區間內週期性重複的訊號，它不能應用於非週期訊號。然而，並非所有周期訊號都可以用傅立葉級數表示。訊號的傅立葉級數分析也稱為**諧波分析**。
傅立葉級數的表示
訊號的傅立葉級數表示可能有以下三種形式：
三角形式
在三角傅立葉級數表示中，正交函式是三角函式，即：
$$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t}$$
餘弦形式
$x(t)$ 的餘弦表示為：
$$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}[cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})]}$$
指數形式
在指數傅立葉級數表示中，正交函式是指數函式，即：
$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0} t}}$$
狄利克雷條件（傅立葉級數存在的條件）
一位_德國數學家狄利克雷_定義了傅立葉級數存在的條件。如果週期訊號 x(t) 滿足稱為狄利克雷條件的條件，則可以用傅立葉級數表示。這些條件如下：
$x(t)$ 必須是單值函式。
$x(t)$ 具有有限數量的不連續點。
$x(t)$ 只有有限數量的最大值和最小值。
$x(t)$ 在一個週期內是絕對可積的，即：
$$\mathrm{\int_{0}^{T}x(t)\:dt<\infty}$$
這四個條件是充分條件，但不是週期函式 x(t) 的傅立葉級數存在的必要條件。這裡，_第四個條件稱為弱狄利克雷條件_。
如果一個函式滿足弱狄利克雷條件，則保證該函式的傅立葉級數的存在，但傅立葉級數可能並非在每一點都收斂。
_第二個和第三個條件稱為強狄利克雷條件_。如果函式滿足這兩個條件，則級數的收斂性也得到保證。
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