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法律研究使用傅立葉級數計算週期函式的平均功率
當V伏特的電壓施加到R Ω的電阻上時，電流I將流過它。電阻上消耗的功率由下式給出：
$$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$
但是當電壓和電流訊號不恆定時，功率在每個瞬間都會發生變化，瞬時功率的方程由下式給出：
$$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$
其中，𝑖(𝑡)和𝑣(𝑡)分別為電流和電壓的瞬時值
現在，如果電阻 (R) 的值為 1 Ω，則瞬時功率可以表示為：
$$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$
因此，訊號 x(t) 的瞬時功率可以表示為
$$\mathrm{p=x^2(t)\:\:\:\:\:\:....(4)}$$
因此，x(t) 在某個時間間隔內的平均功率為：
$$\mathrm{平均功率,\:\:P=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}x^2(t)dt\:\:\:\:\:\:....(5)}$$
利用帕塞瓦爾定理，我們得到
$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty} |C_n|^2=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty}C_{n}^{2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=C_{0}^{2}+\sum_{\substack{n=-\infty \ n
eq 0}}^{\infty}C_{n}C_{n}^{*}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}2[Re(C_{n}^{2})+Im(C_{n}^{2})]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \frac{1}{T}\int_{0}^{T}|x(t)|^2dt=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(6)}$$
比較公式 (5) 和 (6)，我們得到：
$$\mathrm{P=a_{0}^{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_{n}^{2}}{2}+\frac{b_{n}^{2}}{2}\:\:\:\:\:....(7)}$$
因此，可以使用傅立葉級數給出一段時間內的平均功率，如下所示：
$$\mathrm{平均功率 = (直流項)^2+\sum(餘弦項的均方值)+\sum(正弦項的均方值)\:\:\:\:\:....(8)}$$
數值示例
確定以下訊號的平均功率：
$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$
解答
給定訊號為：
$$\mathrm{x(t)=\cos^2(4000\pi t)\sin (10000\pi t)}$$
$$\mathrm{\because \cos^2 \theta = \frac{1 +\cos2 \theta}{2}}$$
$$\mathrm{\therefore x(t)=(\frac{1+\cos8000\pi t}{2})\sin(10000\pi t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)\cos(8000\pi t)}$$
$$\mathrm{\because \sin X\cos Y = \frac{\sin(X+Y)\sin(X-Y)}{2}}$$
$$\mathrm{\therefore x(t)=\frac{1}{2}\sin(10000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(18000\pi t)+\frac{1}{4}\sin(2000\pi t)}$$
因此，根據公式 (8)，訊號的平均功率為
$$\mathrm{P=\frac{(1/2)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}+\frac{(1/4)^2}{2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow P=\frac{1}{8}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}=\frac{3}{16}\: 瓦特}$$
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