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法律研究訊號與系統 – 卷積與相關性的關係
卷積
卷積是將兩個訊號組合形成第三個訊號的數學運算。換句話說，卷積是一種數學方法，用於表達線性時不變 (LTI) 系統的輸入和輸出特性之間的關係。
在數學上，兩個訊號的卷積由下式給出：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( \tau \right )x_{2}\left ( t-\tau \right )d\tau =\int_{-\infty }^{\infty }x_{2}\left ( \tau \right )x_{1}\left ( t-\tau \right )d\tau}$$
相關性
相關性定義為兩個訊號、函式或波形之間相似性的度量。相關性分為兩種型別，即**互相關**和**自相關**。
兩個覆信號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 之間的互相關由下式給出：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t \right )x^{\ast }_{2}\left ( t-\tau \right )dt =\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t+\tau \right )x^{*}_{2}\left ( t \right )dt}$$
如果 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 是實訊號，則：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t \right )x_{2}\left ( t-\tau \right )dt =\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( t+\tau \right )x_{2}\left ( t \right )dt}$$
卷積與相關性的關係
卷積和相關性密切相關。為了獲得兩個實訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的互相關，我們將訊號 𝑥1(𝑡) 與移位 τ 個單位的函式 𝑥2(𝑡) 相乘。然後，乘積曲線下的面積是訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 時的互相關。
另一方面，訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 時的卷積是透過將函式 𝑥2(𝑡) 繞原點垂直軸反轉 [即，𝑥2(−𝑡)]，然後相乘得到的。乘積曲線下的面積是訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在 𝑡 = 𝜏 時的卷積。
因此，可以得出結論，訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的相關性與訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷積相同。
分析解釋
卷積和相關性之間的相似性可以透過以下方式進行分析證明：
兩個訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷積由下式給出：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( \tau \right )x_{2}\left ( \tau-t \right )d\tau\: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 1 \right )}$$
透過將變數 𝜏 替換為方程 (1) 的積分中的另一個變數 p，我們得到：
$$\mathrm{x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( p \right )x_{2}\left ( p-t \right )dp\: \: \: \cdot \cdot \cdot \left ( 2 \right )}$$
現在，將方程 (2) 中的變數 𝑡 替換為 𝜏，我們有：
$$\mathrm{x_{1}\left ( \tau \right )\ast x_{2}\left ( -\tau \right )=\int_{-\infty }^{\infty }x_{1}\left ( p \right )x_{2}\left ( p-\tau \right )dp=R_{12}\left ( \tau \right )}$$
因此，相關性和兩個訊號卷積之間的關係由下式給出：
$$\mathrm{R_{12}\left ( \tau \right )=x_{1}\left ( t \right )\ast x_{2}\left ( -t \right )|_{t=\tau }}$$
同樣地，
$$\mathrm{R_{21}\left ( \tau \right )=x_{2}\left ( t \right )\ast x_{1}\left ( -t \right )|_{t=\tau }}$$
因此，這證明了訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的相關性等效於訊號 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(−𝑡) 的卷積。
因此，所有用於評估兩個訊號卷積的技術也可以直接應用於查詢訊號的相關性。類似地，卷積獲得的所有結果都適用於相關性。
**注意** – 如果其中一個訊號是偶訊號，例如，訊號 𝑥2(𝑡) 是偶訊號 [即 𝑥2(𝑡) = 𝑥2(−𝑡)]。那麼，兩個訊號的互相關和卷積是等效的。
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