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法律研究訊號與系統中卷積的性質
卷積
卷積是一種將兩個訊號組合以產生第三個訊號的數學工具。換句話說，卷積可以定義為一種用於表達線性時不變系統(LTI系統)輸入和輸出之間關係的數學運算。
考慮兩個訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$。則這兩個訊號的卷積定義為
$$\mathrm{ \mathit{\mathit{y\left(t\right)=x_{\mathrm{1}}\left({t}\right)*x_{\mathrm{2}}\left({t}\right)\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{1}}\left(\tau\right)x_{\mathrm{2}}\left(t-\tau\right)\:d\tau=\int_{-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left(\tau \right)x_{\mathrm{1}}\left(t-\tau\right)\:d\tau }}}$$
卷積的性質
連續時間卷積具有基本且重要的性質，如下所示：
卷積的交換律 - 卷積的交換律指出，我們對兩個訊號進行卷積的順序不會改變結果，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=x_{2}(t)*x_{\mathrm{1}}\left(t\right)}}$$
卷積的分配律 - 卷積的分配律指出，如果存在三個訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$,$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$$\mathrm{和}$ $\mathit{x_{\mathrm{3}}\left( t\right )}$，則$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$的卷積對加法$\mathit{\left [x_{\mathrm{2}}\left( t\right ) \mathrm{+}\mathit{x_{\mathrm{3}}\left( t\right )}\right ]}$滿足分配律，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*\left [x_{\mathrm{2}}\left(t\right)\mathrm{+}x_{\mathrm{3}}\left(t\right) \right ]\mathrm{=}\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]\mathrm{+}\left [x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{3}}\left(t\right)\right ]}}$$
卷積的結合律 - 卷積的結合律指出，訊號在卷積中的分組方式不會改變結果，即：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*\left [ x_{\mathrm{2}}\left(t\right)*x_{\mathrm{3}}\left(t\right) \right ]=\left [ x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right) \right ]*x_{\mathrm{3}}\left(t\right)}}$$
卷積的移位性質 - 卷積的移位性質指出，訊號與移位訊號的卷積結果是該訊號的移位版本，即如果
$$\mathrm{ \mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=y\left(t\right)}}$$
則根據卷積的移位性質，我們有：
$$\mathrm{ \mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)=y\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)}}$$
同樣地，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t\right)=y\left(t-T_{\mathrm{0}}\right)}}$$
因此，
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left(t-T_{1}\right)*x_{\mathrm{2}}\left(t-T_{\mathrm{2}}\right)=y\left(t-T_{\mathrm{1}}-T_{\mathrm{2}}\right)}}$$
卷積的寬度性質 - 令訊號$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$的持續時間分別為T1和T2。則卷積的寬度性質指出，透過對$\mathit{x_{\mathrm{1}}\left( t\right )}$和$\mathit{x_{\mathrm{2}}\left( t\right )}$進行卷積得到的訊號的持續時間等於$\mathit{\left (T_{\mathrm{1}}\mathrm{+}T_{\mathrm{2}} \right )}$
訊號與衝激函式的卷積 - 卷積的這一性質指出，任意訊號$\mathit{x\left (t\right )}$與單位衝激訊號的卷積是訊號本身，即：
$$\mathrm{x\left(t\right)*\delta\left(t\right)=x\left(t\right)}$$
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