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法學訊號與系統——Z變換收斂域(ROC)的性質
Z變換
Z變換 (ZT) 是一種數學工具，用於將時域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。
數學上，如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是一個離散時間訊號或序列，那麼它的雙邊Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}\:\mathrm{=}\:\sum_{\mathit{n=-\infty }}^{\infty }\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}\mathit{z}^{-\mathit{n}}}$$
其中，z是一個復變數。
Z變換的收斂域(ROC)
在z平面上，使離散時間序列$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$的Z變換，即$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$收斂的點集稱為$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$的收斂域(ROC)。
Z變換ROC的性質
Z變換的收斂域(ROC)具有以下性質：
Z變換的ROC是z平面上以原點為中心的環形或圓盤。
Z變換的ROC不能包含任何極點。
線性時不變穩定系統的Z變換的ROC包含單位圓。
Z變換的ROC必須是連通區域。當Z變換$\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{z}\right)}$是有理函式時，其ROC由極點界定或延伸到無窮大。
對於$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)} \:\mathrm{=}\: \mathit{\delta}\mathrm{\left(\mathit{n}\right )}$, 即衝激序列是唯一一個Z變換ROC為整個z平面的序列。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是無限長的因果序列，則其ROC為$\left|\mathit{z} \right|>\mathit{a}$，即半徑等於a的圓的外部。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是無限長的反因果序列，則其ROC為$\left|\mathit{z} \right|<\mathit{b}$，即半徑等於b的圓的內部。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是無限長的雙邊序列，則其ROC為$\mathit{a}<\left|\mathit{z} \right|<\mathit{b}$，即它由z平面上一個環組成，該環在內部和外部由極點界定，並且不包含任何極點。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限長的因果序列（即右序列），則其ROC為整個z平面，除了z = 0。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限長的反因果序列（即左序列），則其ROC為整個z平面，除了$z\:\mathrm{=}\:\mathit{\infty}$。
如果$\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{n}\right)}$是有限長的雙邊序列，則其ROC為整個z平面，除了z = 0和$z\:\mathrm{=}\:\mathit{\infty}$。
兩個或多個序列之和的ROC等於這些序列ROC的交集。
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