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法學有限持續序列的Z變換和收斂域
具有有限樣本數的序列稱為有限持續序列。有限持續序列可以分為以下三種類型：
- 右半序列
- 左半序列
- 雙邊序列
右半序列
對於一個序列，當$\mathrm{\mathit{n}}$ < $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$時，$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ = 0，其中$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$可以是正數或負數，但必須是有限的，則該序列稱為右半序列。如果$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ ≥ 0，則生成的序列是因果序列。因果序列的收斂域是整個z平面，除了𝑧 = 0。
數值例子 (1)
求因果序列的Z變換和收斂域。
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 1, & 0,& -4,& 6,& 5,& 4 \ \uparrow & & & & & \ \end{Bmatrix} }$$
解答
給定序列是右半序列。給定序列的值為：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left ( \mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{0},x\left ( \mathrm{2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-4},x\left ( \mathrm{3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{6},x\left ( \mathrm{4} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5},x\left ( \mathrm{5} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}}}$$
序列的Z變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
因此，對於給定序列的值，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{1} \right )z^{-\mathrm{1}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{2} \right )z^{-\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{3} \right )z^{-\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{4} \right )z^{-\mathrm{4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{5} \right )z^{-\mathrm{5}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1}-\mathrm{4}z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{6}z^{\mathrm{-3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{-4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-5}} }}$$
給定序列是因果序列，因此$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$在除𝑧 = 0外的所有z值上都收斂，即收斂域是整個z平面，除了𝑧 = 0。
左半序列
對於一個序列，當$\mathrm{\mathit{n}}$ ≥ $\mathit{n_{\mathrm{0}}}$時，$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ = 0，其中$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$可以是正數或負數，但必須是有限的，則該序列稱為左半序列。當$\mathit{n_{\mathrm{0}}}$ ≤ 0時，則生成的序列是反因果序列。反因果序列的收斂域是整個z平面，除了𝑧 = ∞。
數值例子 (2)
求反因果序列的Z變換和收斂域。
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 1, & -2,& -1,& 2,& 3,& 4 \ & & & & & \uparrow\ \end{Bmatrix} }$$
解答
給定序列是左半序列。給定序列的值為：
$$\mathrm{\mathit{x\left (\mathrm{-5} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left (\mathrm{-4} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-2},x\left (\mathrm{-3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{-1},x\left (\mathrm{-2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{2},x\left (\mathrm{-1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{3},x\left (\mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4}}}$$
由於Z變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
因此，對於給定序列的值，Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\,}X\left ( z \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{-5} \right )z^{\mathrm{5}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-4} \right )z^{\mathrm{4}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-3} \right )z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-2} \right )z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{-1} \right )z\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}x\left ( \mathrm{0} \right )}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}z^{\mathrm{5}}-\mathrm{2}z^{\mathrm{4}}-z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{2}z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{3}z\mathrm{\, \mathrm{\, +\,}\,}\mathrm{4} }}$$
由於給定序列是反因果序列，因此$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )}}$在除𝑧 = ∞外的所有z值上都收斂，即收斂域是整個z平面，除了𝑧 = ∞。
雙邊序列
雙邊序列是指同時存在於左側和右側的序列。雙邊序列的收斂域是整個z平面，除了𝑧 = 0和𝑧 = ∞。
數值例子 (3)
求雙邊序列的Z變換和收斂域。
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}\mathrm{\, =\,} \begin{Bmatrix} 5, & 1,& 2,& 3,& 4,& 0,& 5,& \ & & & \uparrow& & \ \end{Bmatrix} }$$
解答
給定雙邊序列的值為：
$$\mathrm{\mathit{x\left (\mathrm{-3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5},x\left (\mathrm{-2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{1},x\left (\mathrm{-1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{2},x\left (\mathrm{0} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{3},x\left (\mathrm{1} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{4},x\left (\mathrm{2} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{0},x\left (\mathrm{3} \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5}}}$$
Z變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\sum_{n\mathrm{\, =\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
對於序列的值，Z變換為：
$$\mathrm{\mathit{X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}x\left ( \mathrm{-3} \right )z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{-2} \right )z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{-1} \right )z\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{0} \right )\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{1} \right )z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{2} \right )z^{\mathrm{-2}}\mathrm{\, +\,}x\left ( \mathrm{3} \right )z^{\mathrm{-3}}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore X\left ( z \right )\mathrm{\, =\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{3}}\mathrm{\, +\,}z^{\mathrm{2}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{2}z\mathrm{\, +\,}\mathrm{3}\mathrm{\, +\,}\mathrm{4}z^{\mathrm{-1}}\mathrm{\, +\,}\mathrm{5}z^{\mathrm{-3}}}}$$
收斂域是整個z平面，除了𝑧 = 0和𝑧 = ∞。
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