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法學Z變換的乘法性質
Z變換
Z變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為z域中的代數方程。數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$是一個離散時間函式，則它的Z變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
Z變換的乘法性質
說明 – Z變換的乘法性質指出，兩個訊號在時域中的乘法對應於z域中的復卷積。因此，乘法性質也稱為Z變換的復卷積性質。所以，如果
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{1}}\left ( z \right )\:\: \mathrm{and}\:\: x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X_{\mathrm{2}}\left ( z \right ) }}$$
那麼，根據乘法性質：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )X_{\mathrm{2}}\left ( \frac{z}{p} \right )p^{\mathrm{-1}}dp}}$$
證明
根據Z變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }X\left ( z \right )\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]z^{-n}\; \; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{1} \right )}}$$
但是，根據逆Z變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X\left ( z \right )z^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}dz\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{2} \right ) }}$$
將復變數z替換為p，得到：
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X\left ( p \right )p^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}dp\; \; \cdot \cdot \cdot \left ( \mathrm{3} \right ) }}$$
將式(3)中$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )}}$的值代入式(1)，得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }\left [ \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )p^{\left ( n-\mathrm{1} \right )}dp \right ]x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )z^{-n}}} $$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )\left [\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) p^{n}p^{\mathrm{-1}}z^{-n} \right ]dp}} $$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right )\left [\sum_{n\mathrm{\, =\, }-\infty }^{\infty }x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \left ( p^{\mathrm{-1}}z \right )^{-n} \right ]p^{\mathrm{-1}}\, dp}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\, =\, }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right ) X_{\mathrm{2}}\left ( \frac{z}{p} \right ) p^{\mathrm{-1}}\, dp}}$$
也可以寫成：
$$\mathrm{\mathit{x_{\mathrm{1}}\left ( n \right )x_{\mathrm{2}}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\pi j}\oint X_{\mathrm{1}}\left ( p \right ) X_{\mathrm{2}}\left ( \frac{z}{p} \right ) p^{\mathrm{-1}}\, dp}}$$
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