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法學Z 變換的共軛和累加性質
Z 變換
Z 變換是一種數學工具，用於將離散時間域中的差分方程轉換為 z 域中的代數方程。
數學上，如果 $\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )}}$ 是一個離散時間函式，則其 Z 變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$
Z 變換的共軛性質
說明 – Z 變換的共軛性質指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right );\; \; \mathrm{ROC}\mathrm{\,=\,}\mathit{R} }}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{x^{*}\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X^{*}\left ( z^{*} \right );\; \; \mathrm{ROC}\mathrm{\,=\,}\mathit{R}}}$$
證明
根據 Z 變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x^{\ast }\left ( n \right )z^{-n}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\left [ \sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )\left ( z^{\ast } \right )^{-n} \right ]^{\ast }\mathrm{\,=\,}\left [ X\left ( z^{\ast } \right ) \right ]^{\ast }}}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [ x^{\ast }\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X^{\ast }\left ( z^{\ast } \right )}}$$
這也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{x^{\ast }\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X^{\ast }\left ( z^{\ast } \right )}}$$
因此，這證明了 Z 變換的共軛性質。
Z 變換的累加性質
說明 – Z 變換的累加性質指出，如果
$$\mathrm{\mathit{x\left ( n \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}X\left ( z \right )}}$$
那麼，
$$\mathrm{\mathit{\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n}x\left ( p \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$
證明
根據 Z 變換的定義，我們有：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [ x\left ( n \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( n \right )z^{-n} }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{n\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }\left [ \sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n }x\left ( p \right ) \right ]z^{-n} }}$$
將 $\mathrm{\mathit{\left ( n-p \right )\mathrm{\,=\,}m\:\: \mathrm{或}\: \: n\mathrm{\,=\,}\left ( p\mathrm{\,+\,}m \right )\: \: \mathrm{或}\: \: p\mathrm{\,=\,}\left ( n-m \right )}}$ 代入上述方程的右邊，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty-m }^{p\mathrm{\,=\,}\infty-m }\left [ \sum_{m\mathrm{\,=\,}n-\left ( -\infty \right ) }^{m\mathrm{\,=\,}n-n }x\left ( p \right ) \right ]z^{-\left ( p\mathrm{\,+\,}m \right )}}}$$
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty}\sum_{m\mathrm{\,=\,}\infty }^{\mathrm{0}}x\left ( p \right )z^{-p}z^{-m}}}$$
透過交換求和順序，我們得到：
$$\mathrm{\mathit{\Rightarrow Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\sum_{m\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty}z^{-m}\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{\infty }x\left ( p \right )z^{-p}\mathrm{\,=\,}\left (\sum_{m\mathrm{\,=\,}\mathrm{0} }^{\infty}z^{-m} \right )X\left ( z \right ) }}$$
$$\mathrm{\mathit{\therefore Z\left [\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right ) \right ]\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}-z^{\mathrm{-1}}} \right )X\left ( z \right )\mathrm{\,=\,}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$
此外，它也可以表示為：
$$\mathrm{\mathit{\sum_{p\mathrm{\,=\,}-\infty }^{n} x\left ( p \right )\overset{ZT}{\leftrightarrow}\left ( \frac{z}{z-\mathrm{1}} \right )X\left ( z \right )}}$$
因此，這證明了 Z 變換的累加性質。
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