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法學拉普拉斯變換和右側及左側訊號的收斂域
什麼是收斂域？
收斂域 (ROC) 定義為 s 平面上使函式 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯變換收斂的點集。換句話說，使函式 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 收斂的 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s} \right)}$ (即 σ) 的範圍稱為收斂域。
右側訊號的ROC
如果訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 在 t < $\mathit{T}_{\mathrm{1}}$ 時為 0，其中 $\mathit{T}_{\mathrm{1}}$ 為某個有限時間（如圖 1 所示），則稱訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 為右側訊號。
對於右側訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，拉普拉斯變換 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 的 ROC 為 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s} \right )}>\mathrm{\sigma _{\mathrm{1}}}$，其中 $\mathrm{\sigma _{\mathrm{1}}}$ 為常數。因此，右側訊號的拉普拉斯變換的 ROC 在直線 $\sigma \mathrm{=} \mathrm{\sigma _{\mathrm{1}}}$ 的右側。因果訊號是右側訊號的一個例子。
數值例子 - 1
求右側訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:2\mathit{e^{-\mathrm{4}t}u\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}e^{-\mathrm{4}t}u\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}}$ 的拉普拉斯變換和 ROC。
解答
給定訊號為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:2\mathit{e^{-\mathrm{4}t}\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathrm{4}e^{-\mathrm{4}t}\:u\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}}}$$
給定訊號是右側訊號。實際上，它是一個因果訊號。它的拉普拉斯變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:2\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{\mathrm{-4}t}\:u\mathrm{\left(\mathit{t}\right )}}\right]}\:\mathrm{+}\:4\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathrm{-2}\mathit{t}}\:\mathit{u}\mathrm{\left (\mathit{t}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathrm{\left(\frac{2}{\mathit{s}+\mathrm{4}}\right)}\mathrm{+}\mathrm{\left(\frac{4}{\mathit{s}+\mathrm{2}}\right)};\:\mathrm{ROC}\to \mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-4\:\mathrm{and}\:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-2}$$
因此，給定右側訊號的 ROC 為：
$$\mathrm{\mathrm{\left[\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-4\:\cap \:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-2 \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-2}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{ROC\to }\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}>-2}$$
給定訊號的拉普拉斯變換的 ROC 如圖 2 所示。需要注意的是，ROC 延伸到最右極點的右側，並且 ROC 內不存在極點。
左側訊號的ROC
如果訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 在 t > $\mathit{T}_{\mathrm{2}}$ 時為 0，其中 $\mathit{T}_{\mathrm{2}}$ 為某個有限時間（如圖 3 所示），則稱訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 為左側訊號。
對於左側訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$，拉普拉斯變換 $\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}$ 的 ROC 為 $\mathit{Re}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}<\mathrm{\sigma _{\mathrm{2}}}$，其中 $\mathrm{\sigma _{\mathrm{2}}}$ 為常數。因此，左側訊號的拉普拉斯變換的 ROC 在直線 $\sigma \mathrm{=}\mathrm{\sigma _{\mathrm{2}}}$ 的左側。反因果訊號是左側訊號的一個例子。
數值例子 - 2
求左側訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathrm{2}t}\:u\mathrm{\left(\mathit{-t}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathrm{3}e^{\mathrm{5}t}\:u\mathrm{\left (\mathit{-t}\right)}}$ 的拉普拉斯變換和 ROC。
解答
給定訊號為：
$$\mathrm{\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\:\mathrm{=}\:\mathit{e^{\mathrm{2}t}\:u\mathrm{\left(\mathit{-t}\right )}\:\mathrm{+}\:\mathrm{3}\mathit{e}^{\mathrm{5}\mathit{t}}\:\mathit{u}\mathrm{\left (\mathit{-t}\right)}}}$$
由於給定訊號是左側訊號，因此它是一個反因果訊號。訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的拉普拉斯變換由下式給出：
$$\mathrm{\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}\right]}\:\mathrm{=}\:\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e^{\mathrm{2}t}\:u\mathrm{\left(\mathit{-t}\right )}}\right]}\mathrm{+}3\mathit{L}\mathrm{\left[\mathit{e}^{\mathrm{5}\mathit{t}}\:\mathit{u}\mathrm{\left (\mathit{-t}\right)}\right]}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:\mathit{X}\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}\mathrm{=}\:-\frac{1}{\mathit{s}-\mathrm{2}}-\frac{3}{\mathit{s}-\mathrm{5}};\:\mathrm{ROC}\to \mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<2\:\mathrm{and}\:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<5}$$
因此，給定左側訊號的拉普拉斯變換的 ROC 為：
$$\mathrm{\mathrm{\left[\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<2\:\cap \:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<5 \right ]}\:\mathrm{=}\:\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<2}$$
$$\mathrm{\Rightarrow \mathrm{ROC\to }\mathit{Re\mathrm{\left(\mathit{s}\right)}}<2}$$
左側訊號 $\mathit{x}\mathrm{\left(\mathit{t}\right)}$ 的 ROC 如圖 4 所示。需要注意的是，ROC 延伸到最左極點的左側，並且 ROC 內不存在極點。
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