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法學拉普拉斯變換——存在條件、收斂域、優缺點
拉普拉斯變換
拉普拉斯變換是一種數學工具，用於將時域中的微分方程轉換為頻域或 *s* 域中的代數方程。
數學上，如果$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是一個時域函式，那麼它的拉普拉斯變換定義為：
$$\mathrm{\mathit{L\left [ x\left ( \mathrm{t} \right ) \right ]}\mathrm{=} \mathit{X\left ( s \right )}\mathrm{=}\int_{-\infty }^{\infty}\mathit{x\left ( \mathrm{t} \right )e^{-st}\; dt}\; \; ...\left ( 1 \right )}$$
其中，𝑠 是一個復變數，由下式給出：
$$\mathrm{s = \sigma + j\omega }$$
運算元 L 稱為 *拉普拉斯變換運算元*，它將時域函式轉換為 s 域函式。
由於線性時不變 (LTI) 系統由微分方程描述，並且系統的響應是透過求解與其輸入和輸出相關的微分方程獲得的。但是，求解高階微分方程非常繁瑣且耗時，因此使用拉普拉斯變換來求解這些微分方程。拉普拉斯變換將時域微分方程轉換為 s 域的代數方程，在 s 域中得到解，然後可以透過對解進行拉普拉斯逆變換得到時域解。
拉普拉斯變換的存在條件
函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯變換，即函式 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 存在，當且僅當
$$\mathrm{\mathit{\int_{-\infty }^{\infty }\left|x\left ( t \right )e^{-\sigma t} \right|dt< \infty }}$$
或者，當且僅當
$$\mathrm{\mathit{\displaystyle \lim_{t \to \infty }x\left ( t \right )e^{-st}\mathrm{=}\mathrm{0}}}$$
因此，拉普拉斯變換存在的充分必要條件是：
函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 在給定的閉區間內應是分段連續的，並且必須是指數階的。
函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( t \right )e^{-st}}}$ 應該是絕對可積的。
拉普拉斯變換的收斂域
*收斂域 (ROC)* 定義為 s 平面中的一組點，對於這些點，函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯變換（即函式 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$）收斂。
**說明** – 對於給定的函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$，由公式 (1) 給出的拉普拉斯變換可能並非對所有復變數 s 的值都收斂。由於變數 (𝑠) 的每個值都對應於 s 平面上的一個特定點。如果沒有對應於變數 (𝑠) 的值，即在 s 平面上沒有點使拉普拉斯積分收斂，那麼函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 沒有收斂域 (ROC)，因此它不可拉普拉斯變換。
拉普拉斯變換收斂域的性質
以下是拉普拉斯變換 ROC 的性質：
拉普拉斯變換的 ROC 不包含任何極點。
$\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 的拉普拉斯變換，即函式 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 受極點限制或延伸到無窮大。
兩個或多個訊號之和的 ROC 等於這些訊號 ROC 的交集。
拉普拉斯變換的 ROC 必須是一個連通區域。
如果函式 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是右單邊函式，則 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 延伸到最右邊極點的右邊，並且 ROC 內沒有極點。
如果訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是左單邊訊號，則拉普拉斯變換 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 延伸到最左邊極點的左邊，並且 ROC 內沒有極點。
如果訊號 $\mathrm{\mathit{x\left ( \mathit{t} \right )}}$ 是雙邊訊號，則拉普拉斯變換 $\mathrm{X \mathit{\left ( \mathit{s} \right )}}$ 的 ROC 是 s 平面上受極點限制的條帶，並且 ROC 內沒有極點。
衝激訊號是唯一 ROC 為整個 s 平面的訊號。
s 平面的虛軸包含穩定 LTI 系統的 ROC。
拉普拉斯變換的優缺點
以下是使用拉普拉斯變換技術的**優點**：
拉普拉斯變換具有收斂因子，因此比傅立葉變換更通用。這意味著在傅立葉變換中不收斂的訊號在拉普拉斯變換中是收斂的。
使用拉普拉斯變換，可以將描述系統的微分方程轉換為簡單的代數方程。因此，使用拉普拉斯變換分析 LTI 系統變得更容易。
拉普拉斯變換可以用來分析不穩定系統。
時域中的卷積運算可以轉換為 *s* 域中的乘法運算。
使用拉普拉斯變換的**缺點**如下：
$\mathrm{\mathit{s\mathrm{=}j\omega }}$ 僅用於穩態正弦分析。
使用拉普拉斯變換技術，無法繪製或估計系統的頻率響應。只能繪製極零點圖。
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