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法學傅立葉變換——表示和存在條件
傅立葉變換
傅立葉變換定義為一種變換技術，它將訊號從連續時間域變換到相應的頻域，反之亦然。換句話說，傅立葉變換是一種將時間函式 $x(t)$ 變換為頻率函式 X(ω) 的數學技術，反之亦然。
對於連續時間函式 $x(t)$，$x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為
$$\mathrm{X(ω)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$
關於傅立葉變換的幾點
傅立葉變換可以應用於週期訊號和非週期訊號。
傅立葉變換廣泛應用於線性時不變 (LTI) 系統分析、密碼學、訊號處理、訊號分析等領域。
傅立葉變換的應用範圍廣泛，從雷達到擴頻通訊。
傅立葉變換的幅度和相位表示
傅立葉變換的幅度和相位表示是用於分析變換後的函式 X(ω) 的工具。函式 X(ω) 是頻率 ω 的復值函式。因此，它可以寫成：
$$\mathrm{X(ω)=X_{real}(\omega)+X_{img}(\omega)… (2)}$$
其中，
$X_{real}(\omega)$ 是函式 $X(\omega)$ 的實部，
$X_{img}(\omega)$ 是函式 $X(\omega)$ 的虛部。
因此，函式 $X(\omega)$ 的幅度由下式給出：
$$\mathrm{|X(\omega)|=\sqrt{X_{real}^{2}(\omega)}+X_{img}^{2}(\omega)… (3)}$$
函式 $X(\omega)$ 的相位由下式給出：
$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\tan^{-1}\left (\frac{X_{real}(\omega)}{X_{img}(\omega)} \right )… (4)}$$
注意
在函式的幅度 $(|X(\omega)|)$ 和頻率 (ω) 之間繪製的圖形稱為該函式的幅度譜。
在函式的相位 $\angle\:X(\omega)$ 和頻率之間繪製的圖形稱為該函式的相位譜。
幅度譜和相位譜一起稱為該函式的頻譜。
傅立葉變換的存在條件
傅立葉變換並非對所有非週期訊號都存在。因此，對於一個函式 $x(t)$ 具有傅立葉變換，以下條件（稱為狄利克雷條件）必須滿足：
函式 $x(t)$ 在時間區間 $(-\infty\:to\:\infty)$ 上絕對可積，即
$$\mathrm{\int_{−\infty}^{\infty}|X(t)|dt\:<\infty}$$
函式 $x(t)$ 在每一個有限時間區間內具有有限個最大值和最小值。
函式 $x(t)$ 在每一個有限時間區間內具有有限個不連續點。而且，這些不連續點都必須是有限的。
狄利克雷條件是充分條件，但不是必要條件，這意味著，滿足這些條件的函式一定存在傅立葉變換。
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