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法律研究符號函式的傅立葉變換
傅立葉變換
連續時間函式 $x(t)$ 的傅立葉變換可以定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$
符號函式的傅立葉變換
符號函式用 $sgn(t)$ 表示，定義為：
$$\mathrm{sgn(t)=\begin{cases}1 & 當\:t>0\-1 & 當\:t<0 \end{cases}}$$
由於符號函式不是絕對可積的，因此無法直接求出其傅立葉變換。所以，為了求符號函式的傅立葉變換，考慮如下所示的函式。
$$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}sgn(t);\:\:a\rightarrow 0}$$
因此，符號函式可以表示為：
$$\mathrm{x(t)=sgn(t)=\lim_{a\rightarrow \:0}e^{-a|t|}sgn(t)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=\lim_{a\rightarrow \:0}[e^{-at}u(t)-e^{at}u(-t)]}$$
根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}sgn(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\left(\lim_{a\rightarrow \:0}[e^{-at}u(t)-e^{at}u(-t)] \right)e^{-j\omega t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\lim_{a\rightarrow \:0}\left[\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}u(t)dt- \int_{−\infty}^{\infty}e^{at}e^{-j\omega t}u(-t)dt\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\lim_{a\rightarrow \:0}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt- \int_{−\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\lim_{a\rightarrow \:0}\left[\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt- \int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\lim_{a\rightarrow \:0}\left\{\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty} -\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}\right \}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\lim_{a\rightarrow \:0}\left\{\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]- \left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right] \right\}}$$
$$\mathrm{=\lim_{a\rightarrow \:0}\left[ \frac{1}{(a+j\omega)}-\frac{1}{(a-j\omega)}\right]}$$
求解極限，得到：
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{j\omega}-\frac{1}{(-j\omega)}=\frac{2}{j\omega}}$$
因此，符號函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{X(\omega)=F[sgn(t)]=\frac{2}{j\omega}}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{sgn(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2}{j\omega}}$$
符號函式傅立葉變換的幅度和相位表示：
$$\mathrm{幅度, |X(\omega)| =\sqrt{0+\left(\frac{2}{\omega}\right)^{2}}=\frac{2}{\omega};\:\:對於所有\:\omega}$$
$$\mathrm{相位,\angle\:X(\omega) =\begin{cases}\frac{\pi}{2}; & 當\:\omega<0 \ -\frac{\pi}{2}; & 當\:\omega>0 \end{cases}}$$
符號函式及其幅度和相位譜的圖形表示如下所示。
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