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法學矩形函式的傅立葉變換
傅立葉變換
連續時間函式$x(t)$的傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$
矩形函式的傅立葉變換
考慮圖1所示的矩形函式。
其定義為：
$$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$
已知
$$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$
因此，根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$
$$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$
$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$
$$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$
$$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
因此，矩形函式的傅立葉變換為
$$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
或者，也可以表示為：
$$\mathrm{\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \overset{FT}{\leftrightarrow}τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$
矩形函式傅立葉變換的幅度和相位譜
矩形函式的幅度譜如下：
在$\omega=0$處
$$\mathrm{sinc\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=1;\:\:\Rightarrow|X(\omega)|=τ}$$
在$\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=± n\pi$，即在
$$\mathrm{\omega=±\frac{2n\pi}{τ},\:\:n=1,2,2,3,...}$$
$$\mathrm{sinc\left(\frac{\omega τ}{2}\right)=0}$$
相位譜如下：
$$\mathrm{\angle\:X(\omega)=\begin{cases}0 & if\:sinc\:\left(\frac{\omega τ}{2}\right)>0\±\pi & if\:sinc\:\left(\frac{\omega τ}{2}\right)<0 \end{cases}}$$
矩形函式的頻譜如圖2所示。
注意
第一次過零點之間的幅度響應稱為**主瓣**。
$\omega\:< -\left( \frac{-2\pi}{τ}\right)$ 和 $\omega > \left( \frac{2\pi}{τ}\right)$ 的幅度響應部分稱為**旁瓣**。
從幅度譜可以看出，訊號的大部分能量都包含在主瓣中。
隨著矩形脈衝寬度增加，主瓣變窄。
矩形函式的相位譜是頻率(ω)的奇函式。
當幅度譜為正時，相位為零；當幅度譜為負時，相位為$(±\pi)$。
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