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法學單位階躍函式的傅立葉變換
傅立葉變換
對於連續時間函式$x(t)$，傅立葉變換定義為：
$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{−j\omega t}\:dt}$$
單位階躍函式的傅立葉變換
單位階躍函式定義為：
$$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & t≥ 0\0 & t< 0\end{cases}}$$
由於單位階躍函式不是絕對可積的，因此無法直接求出其傅立葉變換。
為了求出單位階躍函式的傅立葉變換，我們將單位階躍函式表示為符號函式的形式：
$$\mathrm{u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$
已知
$$\mathrm{x(t)=u(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$
現在，根據傅立葉變換的定義，我們有：
$$\mathrm{F[u(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t} dt=\int_{−\infty }^{\infty} u(t)e^{-j\omega t} dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} \frac{1}{2}[1+sgn(t)]e^{-j\omega t}dt}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2}\left [ \int_{−\infty }^{\infty} 1 \cdot e^{-j\omega t} dt + \int_{−\infty }^{\infty} sgn(t) \cdot e^{-j\omega t} dt\right ]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2}\{ F[1]+ F[sgn(t)]\}}$$
常數幅度和符號函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[1]=2\pi\delta(\omega)\:\:and\:\:F[sgn(t)]=\frac{2}{j\omega}}$$
$$\mathrm{\therefore\:F[u(t)]=X(\omega)=\frac{1}{2}\left [2\pi\delta(\omega) + \frac{2}{j\omega}\right ] }$$
因此，單位階躍函式的傅立葉變換為：
$$\mathrm{F[u(t)]=\left (\pi\delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}\right )}$$
或者，它也可以表示為：
$$\mathrm{u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\left ( \pi\delta(\omega) +\frac{1}{j\omega}\right )}$$
單位階躍函式傅立葉變換的幅度和相位表示：
$$\mathrm{幅度,|X(\omega)|=\begin{cases}∞ & \omega = 0\0 & \omega= −\infty & \omega= \infty\end{cases}}$$
單位階躍函式及其頻譜的圖形表示如圖所示。
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